Application du Diagramme Cartésien :

 

CONSTRUCTION ET LECTURE DU DIAGRAMME CARTÉSIEN    "2ème PARTIE"

APPLICATION DU DIAGRAMME CARTÉSIEN

En nous servant du système d'axes cartésiens, nous allons maintenant construire une représentation graphique de la loi d'Ohm, que nous avons déjà examinée au point de vue des expressions mathématiques littérales (1 - les formules).

Considérons le cas d'un circuit formé par une batterie de piles (B) et par une résistance (R) ayant la valeur de 1 ohm (figure 3-a). On admet que les conducteurs ont une résistance négligeable. 

Nous pouvons déterminer pour chaque valeur de tension (V), une valeur d'intensité (I) bien définie, qui, d'après la loi d'Ohm, est d'autant plus élevée que la tension de la batterie est elle même plus importante.

Au commencement, lorsque la batterie n'est pas raccordée, aucune tension n'est appliquée à la résistance et, il n'y a évidemment pas de courant. 

Cela peut être représenté dans le diagramme de la figure 3-a, en marquant d'un point l'origine 0 qui correspond à la valeur zéro de la tension (axe des abscisses) et à la valeur zéro de l'intensité (axe des ordonnées).

En fournissant une tension de 2 volts, l'intensité traversant la résistance à pour valeur :

I  = V  /  R

I  =  2  /  1  =  2 ampères

Sur le diagramme de la figure 3-a, nous marquons un point correspondant aux valeurs : tension = 2 volts, intensité = 2 ampères.

Avec une tension de 4 volts, l'intensité à pour valeur :

I  =  V  /  R

I  =  4  /  1  =  4 ampères

Sur le diagramme de la figure 3-a, nous marquons un nouveau point correspondant à V = 4 volts et I = 4 ampères.

Par ce procédé, nous pouvons introduire dans le diagramme autant de points qu'il y a de valeurs de tension à prendre en considération et de valeurs d'intensité correspondantes. Limitons-nous à ces trois points qui sont suffisants pour nous permettre de poursuivre notre développement.

Reportons le diagramme de la figure 3-a sur la figure 3-b. Si le tracé des axes et le positionnement des trois points ont été effectués avec la précision voulue, on peut voir que trois points se trouvent alignés sur une droite.

Cette droite inclinée, passant par l'origine du système des axes, constitue la courbe représentative de la loi d'Ohm, dans le cas particulier d'un circuit ayant une résistance de 1 ohm.

La vérification est très simple. En partant d'une valeur de tension non encore prise en considération mais indiquée sur l'axe des abscisses, on trace la perpendiculaire à ce même axe jusqu'à rencontrer la droite du graphique.

Remarque : En mathématiques, le mot "courbe" est synonyme de "ligne". Une "courbe" peut donc être une droite comme dans le cas présent. Nous reverrons cette terminologie de l'étude des fonctions. A partir de l'intersection de ces deux droites, on mène une perpendiculaire à l'axe des ordonnées déterminant ainsi sur cet axe, la valeur de l'intensité correspondant à la valeur de la tension choisie. Les deux valeurs, celle de la tension et celle de l'intensité, ainsi que la valeur de la résistance (1 ohm), devront satisfaire à l'égalité établie par la loi d'Ohm.

Exemple :

      Prenons la valeur de 1 volt pour la tension (axe des abscisses). Traçons la perpendiculaire qui rencontre la droite au point A (figure 3-b).

A partir du point A, traçons la perpendiculaire à l'axe des ordonnées ; elle indique sur cet axe la valeur 1, c'est-à-dire, la valeur de 1 ampère (intensité).

Calculons maintenant en partant d'une des formes de la loi d'Ohm, la valeur de la résistance en partant d'une tension de 1 volt et d'une intensité de 1 ampère :

R  =  V  /  I

1  =  1  /  1

1  =  1

ce qui correspond effectivement à la valeur de la résistance du circuit.

      Prenons la valeur 3 volts. Traçons la perpendiculaire. Elle rencontre la droite au point B (figure 3-b).

A partir du point B, traçons la perpendiculaire à l'axe des ordonnées ; elle indique la valeur 3. Remplaçons maintenant les valeurs 3 volts, 3 ampères et 1 ohm dans une autre forme de la loi d'Ohm.

I  =  V  /  R

3  =  3  /  1

3  =  3

Dans ce cas aussi, l'égalité entre les deux membres de la formule est satisfaite. Nous pouvons donc conclure que le point B, tout comme le point A, appartient effectivement au graphique de la loi d'Ohm. 

On pourrait présenter de nombreux autres exemples de ce genre, en choisissant à volonté la valeur de la tension et en utilisant la droite du graphique pour déterminer sur l'axe des ordonnées la valeur de l'intensité.

Ils démontreraient toujours que les points de la droite inclinée représentent le lien existant entre la tension et l'intensité, tout comme les formules de la loi d'Ohm représentent ce même lien. 

Ainsi, la droite inclinée passant par l'origine du diagramme et les trois formules de la loi d'Ohm peuvent être considérées comme équivalentes entre elles.

Cependant, nous ne sommes parvenus à ce résultat qu'en considérant le cas particulier dans lequel la résistance du circuit est égal à 1 ohm. Nous étendrons ultérieurement nos considérations au cas plus général dans lequel la résistance du circuit présente une valeur quelconque.

  THÉORÈME DE PYTHAGORE

Il peut s'énoncer sous la forme suivante :

"La surface du carré, construit à partir de l'hypoténuse, est égale à la somme des surfaces des carrés construits à partir des deux autres côtés".

Ce théorème est illustré à la figure 4.

 

La deuxième forme du théorème que l'on rencontre le plus souvent :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.

Écrivons la formule de ce théorème (a et b sont les longueurs des côtés, et c la longueur de l'hypoténuse).

c²  =  a²  +  b²

Cette relation permet de trouver l'hypoténuse. Écrivons-la sous la forme :

On peut aussi trouver un côté en écrivant la relation comme ceci :

Supposons que l'on veuille calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés auraient : a = 3 m et b = 5 m ; remplaçons les lettres par leur valeur dans la formule :

 

Supposons que l'on veuille calculer le côté (b) d'un triangle rectangle en connaissant l'hypoténuse c = 6 cm et l'autre côté (a = 4 cm) ; remplaçons les lettres par leur valeur dans la formule :

Nous terminons ainsi notre 2ème leçon de mathématiques. Dans la prochaine, nous aborderons les expressions algébriques. 

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