Systèmes Numériques ; Décimal, Binaire, Octal, Hexadécimal et Conversions entre Systèmes :
Nous allons aborder dans cette leçon
les systèmes numériques dont certains sont utilisés dans les appareils
informatisés et dans la vie courante.
1. - SYSTÈMES NUMÉRIQUES
On peut introduire dans la mémoire
d'un calculateur des mots, c'est-à-dire des groupes de chiffres binaires ayant
une longueur déterminée.
On a déjà vu, dans la leçon précédente,
de quelle façon ces mots doivent être interprétés ; soit comme données,
soit comme instructions. L'instruction ou la donnée peut être exprimée par un
ou plusieurs mots.
Par conséquent, on aura dans la mémoire
:
- des instructions en un
seul ou plusieurs mots,
- des données numériques
en un seul ou plusieurs mots.
Les deux cas seront repris en détail
dans cette leçon. Rappelons toutefois que la mémoire du calculateur contient
toujours des groupes de bits équivalents à des nombres binaires.
Les nombres octaux, décimaux et
hexadécimaux sont utilisés par l'homme, mais ne peuvent pas être acceptés
dans les circuits du calculateur.
Le système numérique
universellement adopté est le système décimal, ainsi nommé parce qu'il
emploie dix chiffres pour représenter les dix premières valeurs numériques.
Avec deux chiffres on forme donc le
système binaire, avec huit le système octal, avec seize le système hexadécimal
et avec un nombre quelconque de chiffres, un autre système, à condition
toutefois qu'il présente une utilité pratique.
On a vu qu'un ordinateur utilise
uniquement le système binaire puisque les circuits de base ne peuvent présenter
que deux états indiqués par les chiffres "0"
et "1". Certains calculateurs utilisent les codes octal et hexadécimal.
Les expressions en octal et en hexadécimal
on l'avantage d'être plus concises que les expressions binaires et d'être
facilement transformables en expressions binaires équivalentes.
Nous allons voir maintenant les
caractéristiques des différents systèmes numériques en commençant par le
système décimal.
1. 1. - SYSTÈME DÉCIMAL
Chaque nombre écrit dans ce système
est formé par une disposition des chiffres allant de 0
à 9 indiquant de droite à gauche
les
unités, les dizaines, les centaines, les milliers... c'est-à-dire des
puissances de dix en ordre croissant.
La position de chaque chiffre dans
le nombre est donc importante : chaque chiffre à gauche représente
l'unité d'ordre supérieur par rapport à celle du chiffre disposé à sa
droite. Ainsi, par exemple, dans le nombre 32 875,
les différents chiffres prennent respectivement les valeurs suivantes :
5 unités
ou 5 unités simples
7 dizaines
ou 70 unités simples
8 centaines
ou 800 unités simples
2 milliers
ou 2 000 unités simples
3 dizaines de milliers
ou 30 000 unités simples
Il ne faut pas oublier que le rang
peut être transcrit en puissances de 10 de la façon suivante :
Maintenant, en multipliant chaque
chiffre par la puissance correspondante et en ajoutant les produits obtenus,
selon les règles bien connues de l'arithmétique décimale, on obtient le
nombre original :
En conclusion, on peut écrire l'égalité
suivante :
32 875 = (3
x 104)
+ (2 x 103)
+ (8 x 102)
+ (7 x 101)
+ (5 x 100)
L'égalité ainsi définie représente
sous forme arithmétique la signification conventionnelle de l'écriture décimale.
Certaines règles de calcul arithmétique
ont été utilisées ici, d'autres peuvent être utilisées pour extraire la
valeur du même nombre
par une séquence d'opérations
répétitives.
Voyons ce nouveau procédé en nous
référant encore au nombre
32 875.
On
multiplie le premier chiffre de gauche par
10
et, au produit obtenu, on ajoute le 2 chiffre ; puis on multiplie par
10
le total ainsi obtenu et, au nouveau produit, on ajoute le 3ème chiffre et
ainsi de suite :
3 x 10 =
30 ; 30 + 2 =
32
32 x 10 = 320 ;
320 + 8 = 328
328 x 10 = 3 280 ; 3 280 + 7 =
3 287
3 287 x 10 =
32 870 ; 32 870 + 5 = 32 875
Ce procédé peut être considéré
comme une "lecture répétitive du nombre donné" ; il est spécialement
important, parce qu'il est semblable à celui adopté par le calculateur dans les phases de lecture.
1. 2. - SYSTÈME BINAIRE
Dans le système binaire, deux
chiffres seulement sont nécessaires pour écrire les nombres :"0"
et "1".
La base du système est donc deux.
Les règles vues précédemment pour
le système décimal sont valables aussi pour la formation des nombres binaires.
Dans la notation binaire, chaque chiffre est néanmoins associé à une
puissance de deux au lieu d'une puissance de dix.
Chaque chiffre binaire qui constitue
le nombre (on se réfère ici toujours à un nombre décimal) est
pondéré,
c'est-à-dire qu'il possède un poids
déterminé
dont la valeur est associée à une puissance de 2. Cette valeur est croissante
quand on lit le chiffre binaire de la droite vers la gauche.
Dans le tableau qui suit, on montre
la représentation des nombres en numération pondérée à base 2.
Pour trouver l'équivalent décimal
du nombre binaire
"101101"
de l'exemple du
tableau, on prélève, pour chaque
"1"
binaire, la valeur décimale du poids occupé par le rang de chacun des
chiffres. On additionne ensuite chaque résultat partiel. Cette somme correspond
au nombre décimal équivalent.
Dans ce cas,
32 + 8 + 4 + 1 = 45
; ce nombre décimal est l'équivalent du
nombre binaire
101101.
1. 3. - SYSTÈME OCTAL
Dans ce système octal, la représentation
des nombres est faite par une succession de groupes de chiffres, choisis dans les huit premiers décimaux, c'est-à-dire entre
0
et 7. La base est 8 et les poids associés
aux chiffres sont des puissances de 8.
D'une manière analogue aux systèmes
déjà vus, on pourra donc décomposer un nombre octal, par exemple
3 476, de la façon suivante :
3 476 =
(3 x 83)
+ (4 x 82)
+ (7 x 81)
+ (6 x 80)
De plus, pour le même nombre, on
peut faire un autre type de lecture ; en faisant les calculs avec des
nombres décimaux et en employant la méthode décrite précédemment pour les
nombres décimaux :
3 x 8 = 24 ;
24 + 4 = 28
28 x 8
= 224 ; 224 + 7 =
231
231 x 8 = 1
848 ; 1 848 + 6 = 1 854
Le nombre octal
3 476
correspond donc au nombre décimal
1 854.
1. 4. - LE SYSTÈME HEXADÉCIMAL
Ce système qui emploie
seize chiffres est à base 16
; donc, aux dix chiffres décimaux que
nous connaissons, il faut ajouter six lettres :
{A, B, C, D, E, F}
On attribue à ces caractères
alphabétiques les valeurs suivantes, exprimées en nombres décimaux :
A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 ; F = 15.
Les poids associés aux chiffres
hexadécimaux sont des puissances de 16. Exemple :
E1A3D =
(E x 164)
+ (1 x 163)
+ (A x 162)
+ (3 x 161)
+ (D x 160)
Comme précédemment, on peut également
faire un autre genre de lecture, en faisant les calculs avec des nombres décimaux
:
E x 16 = 14 x 16
= 224 ; 224 + 1 = 225
225 x 16 = 3 600
; 3 600 + A = 3 600 + 10 = 3 610
3 610 x 16 = 57
760 ; 57 760 + 3 = 57 763
57 763 x 16 = 924
208 ; 924 208 + D = 924 208 + 13 = 924 221
E1A3D
en hexadécimal est donc égal à
924 221 en décimal.
1. 5. - NOTATIONS DES SYSTÈMES NUMÉRIQUES
Dans un système numérique quelconque, qu'il
soit de base deux, huit, dix ou seize, la représentation d'un nombre est unique
; cela signifie qu'à chaque nombre entier, correspond une et une seule
suite de chiffres à l'intérieur d'un système donné, les éventuels zéros
non significatifs (c'est-à-dire ceux à gauche du nombre) n'étant pas pris en compte.
Une quantité décimale peut toujours être
exprimée dans un autre système numérique ; on appelle cette opération
le codage
d'un nombre.
Par exemple, le nombre décimal
318
se représente ainsi :
- 100111110
dans le système binaire,
-
476 dans le système octal,
-
13E dans le système hexadécimal.
Pour reconnaître immédiatement le
système numérique choisi dans l'écriture d'un nombre, on note en indice et en
décimal la base correspondante du système.
Exemple :
31810
= 1001111102
= 4768
= 13E16
On utilise aussi en indice la lettre
H (hexadécimal) à la place de
16; il revient donc au même d'écrire :13E16
ou
13EH.
2. - CONVERSIONS ENTRE SYSTÈMES NUMÉRIQUES
Convertir un nombre écrit dans un
système numérique en un autre signifie qu'il faut trouver la disposition
correspondante des chiffres propre au nouveau système.
On verra successivement les méthodes,
c'est-à-dire les calculs nécessaires pour faire de telles opérations et on
analysera les conversions entre les systèmes numériques précédemment décrits.
Pour convertir un nombre décimal
dans ses équivalents binaire, octal et hexadécimal, on peut adopter le procédé
suivant :
- On divise le nombre décimal
par la base du nouveau système : on obtient un quotient entier et un
reste que l'on utilisera pour former un chiffre du nouveau système.
- On continue en divisant par
la base le quotient entier de l'opération précédente et on en tire un reste
comme précédemment ; on recommence cette opération jusqu'à ce que
l'on obtienne un quotient égal à zéro.
- Le résultat obtenu est
constitué de tous les restes des divisions, écrits de droite à gauche, en
partant du dernier vers le premier.
On suppose, par exemple, vouloir
convertir le nombre décimal 123
dans les trois systèmes (binaire, octal, hexadécimal).
En commençant par le système
binaire, on divise 123 par 2
et on obtient un
quotient de "61" et
un reste de "1" ; on recommence l'opération pour le quotient
61
et pour chaque quotient successif jusqu'à ce qu'il soit égal à zéro.
La conversion complète de
123
en forme binaire est la suivante :
Comme deuxième exemple, voyons la
conversion du nombre décimal
218
en nombre binaire :
On peut facilement vérifier ce
genre de conversions, en effectuant la lecture inverse des nombres binaires trouvés
et en remarquant ainsi l'équivalence avec les nombres décimaux respectifs.
Voici un exemple de vérification
pour la deuxième conversion :
1
x 2 = 2 ;
2 + 1 = 3
3 x 2 = 6 ;
6 + 0 = 6
6 x 2 = 12 ; 12 + 1 =
13
13 x 2
= 26 ; 26 + 1 = 27
27 x 2
= 54 ; 54 + 0 = 54
54 x 2
= 108 ; 108 + 1 = 109
109 x 2 = 218
; 218 + 0 = 218
Le nombre
218
est justement le nombre recherché.
Évidemment, transformer les nombres
décimaux en binaire et vice versa est un exercice ennuyeux, du moins pour
l'homme, et de plus présente beaucoup de risques d'erreurs.
Celui qui voudrait s'entraîner un
peu pourrait chercher l'équivalent binaire de nombre décimaux relativement
grands, comme par exemple
1 947 563.
Après
avoir fait 21 divisions,
on trouve que ce nombre exprimé en forme
binaire équivaut à
111 011 011 011 110 101 011
et là, on comprend très bien pourquoi l'homme n'utilise pas les nombres binaires dans les calculs.
Les nombres binaires ont en moyenne
à peu près trois fois plus de chiffres que les nombres décimaux équivalents,
ils sont difficiles à distinguer entre eux et à mémoriser.
Voyons maintenant la conversion, en
système octal, du nombre décimal
123
du premier exemple.
Le procédé à suivre est toujours
le même ; seule la base du nouveau système diffère :
Si, par contre, on veut représenter
123
en notation hexadécimale, on divisera
successivement le nombre par 16
:
2. 1. - CONVERSIONS ENTRE SYSTÈME
BINAIRE ET SYSTÈME OCTAL OU HEXADÉCIMAL ET VICE VERSA
La conversion d'un nombre binaire
dans le système octal ou hexadécimal est très facile et ne demande pas de gros calculs.
Voyons d'abord la conversion dans le
système octal.
Un nombre binaire peut être
converti en octal en appliquant la règle suivante :
-en partant de la droite,
on divise le nombre binaire par groupes de
3 bits,
dits
triplets, en
ajoutant éventuellement des zéros à gauche pour compléter le
triplet
de gauche.
- on écrit, pour chaque
triplet, la valeur en chiffres octaux.
- en mettant ces chiffres
l'un à côté de l'autre, dans le même ordre, on obtient le nombre octal
recherché.
Exemple :
Transformons en octal le nombre
binaire 10 101 001 110 100.
La règle de conversion de binaire
en octal est un cas particulier qui s'étend à tous les systèmes numériques
ayant comme base une puissance de 2. Par
exemple, cette règle peut être valable pour le système à base 4
égale à 22,
le système octal égal à 23
et le système hexadécimal égal à
24.
La règle générale de conversion
est la suivante :
- en allant de droite à
gauche, diviser l'expression binaire en groupes de chiffres, le nombre de ces
derniers étant égal à l'exposant de la puissance de 2 caractérisant la base
dans laquelle on fait cette conversion.
- pour chaque groupe, écrire
par ordre la valeur numérique, en utilisant le chiffre approprié du nouveau système.
Exemple:
Transformons en hexadécimal le
nombre binaire de l'exemple précédent.
Pour le système hexadécimal, la
base étant 16, on divise le nombre binaire en groupes de 4 bits (24
= 16) :
Observons maintenant les conversions
d'octal et hexadécimal en binaire. Il s'agit là d'opérations inverses, basées
sur les mêmes correspondances entre chiffres hexadécimaux et quartets binaires
d'une part, puis chiffres octaux et triplets binaires d'autre part (figure 1).
Exemples :
- Le nombre octal
7336
est converti en binaire de la façon suivante :
- Le nombre hexadécimal
AA1B
est converti en binaire de la façon suivante :
2. 2. - NOMBRES FRACTIONNAIRES
Pour représenter un nombre
fractionnaire, on utilise encore la méthode qui consiste à attribuer à chaque
chiffre un poids approprié, en rapport avec la position occupée par ce même
chiffre à l'intérieur du nombre écrit. On affecte aux chiffres qui précédent
la virgule les mêmes poids que l'on aurait dans le cas d'un nombre entier ;
par contre, on attribue aux chiffres qui suivent la virgule, des poids constitués
de puissances aux exposants négatifs, de valeur absolue croissante, en allant
vers la droite.
Par exemple, le nombre
512,374
doit être défini de la façon suivante :
La lecture d'un nombre fractionnaire
se fait en deux temps, en utilisant toujours le même procédé. D'abord, on lit
la partie entière comme s'il s'agissait d'un nombre entier ; ensuite, on
s'occupe de la partie fractionnaire comme pour la précédente mais en ayant
toujours à l'esprit qu'elle vient après la virgule.
En reprenant le nombre de l'exemple
précédent, on en fait la lecture de la façon suivante :
On pourrait maintenant étendre ces
mêmes observations au système binaire, octal ou hexadécimal et, par conséquent,
traiter les conversions des nombres fractionnaires d'un système à l'autre. Un
tel travail pourrait être intéressant comme exercice d'arithmétique mais nous
nous en tiendrons là, sachant qu'un nombre fractionnaire peut être considéré
par l'ordinateur comme une union de deux entiers : le premier qui précède
la virgule et qui représente une quantité d'unités ; le second qui
suit la virgule et qui représente une fraction de ces mêmes unités. Les règles
des nombres entiers sont donc suffisantes.
2. 3. - CODE BCD (Binary Coded Decimal)
La codification
BCD
d'un chiffre décimal n'est rien d'autre qu'une substitution de ce chiffre par
un groupe de quatre chiffres binaires. Ces derniers sont plus que suffisants pour coder les chiffres décimaux de
"0"
jusqu'à
"9"
donc, six des seize codes
possibles ne seront pas utilisés dans la représentation
BCD
(voir le tableau de la figure 2).
Prenons comme exemple la conversion
du nombre 146
en code
BCD,
défini selon les correspondances de la figure 2.
On a mentionné l'existence du code
BCD
car l'information numérique, sur beaucoup de circuits, notamment sur ceux des
instruments digitaux de mesure, est fournie sous forme
BCD
(figure 3).
Système Décimal
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