Opérations Arithmétiques dans les Différents Systèmes :
3. - OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES DANS LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES
On peut évidemment effectuer les
quatre opérations arithmétiques fondamentales (addition, soustraction,
multiplication et division) non seulement dans le système décimal mais aussi
dans les autres systèmes numériques et en particulier dans le système binaire
; les règles du système décimal seront valables pour ces opérations.
3. 1. - OPÉRATIONS DANS LE SYSTÈME BINAIRE
Pour additionner deux nombres
binaires, on procède de la même façon que dans l'arithmétique des nombres décimaux.
On écrit les nombres sur des lignes
successives en les mettant en colonne, en partant de la droite ; ensuite
on additionne les chiffres de chaque colonne en commençant par celle de droite.
Exemple : additionner les
nombres 1100101112
et
10100112:
Additionner les nombres
1012,
1112,
12,
1102:
On notera que, dans la troisième
colonne, on a l'addition suivante :1 + 1 + 1 + 1
avec retenue de
10.
Dans ce genre de cas, la dernière
retenue consiste à mettre "0" dans la première colonne située immédiatement à gauche et "1"
dans celle qui suit.
Voyons maintenant la soustraction ;
cette opération peut aussi être faite selon la règle traditionnelle de la
mise en colonne, en partant de la droite et en ayant recours éventuellement à
des unités d'emprunt dans chaque colonne.
En particulier, quand le chiffre du
premier terme est "0" et celui correspondant au second terme est "1",
dans le premier terme on inverse tous les chiffres situès à gauche jusqu'au
premier 1 inclus, et on met "1" devant le "0" initial pour former ainsi le
nombre binaire 10. De ce nombre, on soustrait ensuite le chiffre 1 du second
terme, en se rappelant que dans le système binaire, on a :10 - 1 = 1.
Exemple : soustraire de
101110110002
le nombre
11001112
:
L'addition et la soustraction sont
les deux opérations les plus importantes et les plus utilisées au sein des calculateurs.
La multiplication et la division,
comme les opérations précédentes, se calculent toujours selon les règles
arithmétiques traditionnelles ; elles sont peu utilisées ; on
verra toutefois un exemple de calcul pour chaque opération.
Exemple de multiplication :
Exemple de division :
Les deux opérations précédentes
ne devraient présenter aucune difficulté puisque les calculs consistent
surtout à multiplier des chiffres binaires (c'est-à-dire 0
x 0 = 0 ; 0 x 1 = 0 ; 1 x 0 = 0 ; 1 x 1 = 1) et à soustraire
directement deux nombres pour la division.
3. 2. - OPÉRATIONS DANS LE SYSTÈME OCTAL
Dans ce paragraphe, on examinera les
opérations d'addition et de soustraction dans le système octal. Comme pour le
système binaire, on applique les mêmes règles pour les nombres octaux.
Toutefois, dans ce cas, on aura la
retenue "1" à gauche à chaque fois que
la somme dépasse 7 et il serait bon de se servir du tableau de la figure 4.
Pour additionner deux chiffres
octaux, on cherche ces chiffres dans le tableau : un en début de colonne,
l'autre en début de ligne ; la somme se trouve dans la case
correspondant au croisement entre colonne et ligne.
Par exemple, si l'on doit
additionner les chiffres octaux 7 et 5,
on cherche la somme dans la case située au croisement de la colonne 7
et de la ligne 5. Dans cette case, on trouve
14. Ainsi, dans le système octal, on aura :
7 + 5 = 14
Exemple d'addition octale :
Pour la soustraction, après avoir
transféré par la méthode habituelle les emprunts éventuels, on utilise le
tableau de la figure 4, en procédant par ordre inverse : D'abord, on lit
en début de colonne le chiffre du second terme ; puis on cherche dans
cette même colonne le nombre du premier terme (formé éventuellement en posant
devant lui l'unité d'emprunt) ; ensuite, on lit la différence en début
de ligne.
Exemple de soustraction octale :
3. 3. - OPÉRATIONS DANS LE SYSTÈME HEXADÉCIMAL
Étendons maintenant les règles
arithmétiques aux nombres hexadécimaux, en rappelant que l'on aura une retenue
de 1 dans la colonne de gauche à chaque
fois que la somme dépasse F,
(F = 1510).
Si l'on doit additionner deux
chiffres hexadécimaux, on utilisera le tableau de la figure 5 avec la même méthode
que pour celui de la figure 4 pour les calculs octaux.
Exemple d'addition hexadécimale :
Pour la soustraction, on peut
appliquer la même règle que celle utilisée dans le système octal.
Exemple de soustraction hexadécimale :
3. 4. - LA SOUSTRACTION EN COMPLÉMENT À DEUX
Les circuits du micro-calculateur ne
peuvent pas soustraire directement des nombres binaires, mais seulement les
additionner. Il est donc nécessaire de trouver une méthode pour transformer
les soustractions en additions. La procédure est relativement simple si l'on se
sert du complément à deux relatif au deuxième terme. Pour connaître la méthode
des complémentations, il faut d'abord voir comment elle se présente dans le
système décimal et plus précisément, dans la soustraction :
7 - 4 = 3
En additionnant 10
aux deux termes de l'égalité, celle-ci ne change pas ; on a donc :
7 - 4 + 10 = 3 + 10
On peut écrire l'expression
ci-dessus de la façon suivante :
7 + (10 - 4) = 10 + 3
Maintenant, en effectuant la
soustraction que l'on a écrite entre parenthèse, on obtient :
7 + 6 = 13
En ôtant le
"1"
de
"13", on obtient
3,
c'est-à-dire exactement la différence entre
"7"
et
"4".
La quantité
"10 - 4 = 6"
est appelée complément à
"10"
de
"4".
De la même façon, 3
sera le complément à "10" de "7" et ainsi de suite.
On a donc vu qu'en substituant au
second terme ("4"
dans l'exemple cité)
son complément à
"10", la soustraction
peut être faite en additionnant les deux termes tout en ignorant la retenue.
Exemple :
Effectuons la soustraction
6 - 2.
Le complément à
"10"
de
2
est 10 - 2 = 8
; donc :
6 + 8 = 14
En ignorant la retenue, comme on l'a
déjà dit, il nous reste
4, différence
entre 6
et
2.
On peut remarquer que le problème
n'a pas été totalement résolu puisque pour obtenir le complément à dix, il
est de toute façon nécessaire de faire une soustraction et, calculer "10
- 4"
n'est pas plus simple que "7 -
4".
Mais en code binaire les calculs changent, en effet, dans ce code, l'équivalent
du complément à dix est le complément à deux et pour l'introduire, il est nécessaire
de faire un passage intermédiaire, qui est le complément à 1 du nombre
binaire choisi. Ce complément s'obtient en inversant tous les bits du nombre,
c'est-à-dire en mettant
0
à la place de
1
et vice versa.
Ainsi, le complément à
1
de
10 01 11 01
est
01
10 00 10.
C'est une opération que l'on peut
faire aisément dans les circuits digitaux car, pour faire le complément d'un
nombre il suffit de l'envoyer à un circuit inverseur qui agira sur chaque bit
du nombre. Ensuite, on obtient le complément à
2
en ajoutant simplement "1"
au complément précédent.
Par exemple, le complément à
"2"
de
10 01 11 01
est :
Une autre règle permet d'obtenir le
complément à "2", elle s'énonce de la
façon suivante :
On recopie le nombre dont on veut
trouver le complément à
"2"
de la droite vers la gauche jusqu'au premier "1"
rencontré ; on complémente ensuite tous les bits à sa gauche.
Par exemple, faisons le complément
à "2"
du nombre binaire
10 110 100.
En partant de la droite, on a deux
"0"
et un
"1"
que l'on recopie simplement ;
à partir de cet instant, on termine l'écriture du nombre en complétant chaque bit.
Arrivé à ce stade, il est facile
de comprendre comment une soustraction binaire peut être transformée en addition.
Voyons l'exemple suivant :
En faisant l'opération par une
addition du premier terme au complément à "2"
du second terme, la retenue finale ne sera pas prise en considération comme
pour le système décimal vu précédemment. On obtiendra donc :
La différence est donc :0 1 1 1.
3. 5. - REPRÉSENTATION DES NOMBRES AVEC LEUR SIGNE
Pour représenter un nombre dans les
ordinateurs, on utilise une quantité donnée de bits
(8, 16, 32).
Avec 8 bits(1 octet), on obtient toutes les
combinaisons comprises entre 0 0 0 0 0 0 0 02
et
1 1 1 1 1 1 1 12,
c'est-à-dire entre 010
et
25510.
Si l'on veut accroître le champ des
nombres représentés, il est nécessaire d'ajouter d'autres bits ; par
exemple, avec 16 bits (équivalent à
2
octets), on peut représenter tous les nombres décimaux entre
010
et
65 53510
; avec 32 bits(4 octets), on peut représenter tous les
nombres décimaux qui vont de 010
à
4 294 967 29510.
Dans tous les cas, il s'agit
toujours de nombres naturels, mais en considérant le premier bit à gauche d'un
octet ou d'un groupe d'octets, on peut aussi représenter les nombres signés,
c'est-à-dire les nombres positifs (identifiés par le signe
+)
et négatifs (identifiés par le signe
-).
On peut associer le
0
au signe
+
et le
1
au signe -.
Ainsi, le nombre décimal
+ 23
sera exprimé, dans le système binaire, de la façon suivante :
Le nombre décimal -
23, toujours dans le système binaire, sera par contre exprimé de la
façon suivante :
En prenant en compte le signe, le
champ des nombres se trouve modifié car de
0
à
255
on passe à
- 127
à
+ 127
mais l'amplitude
reste constante à
256 valeurs.
Voyons, par exemple, le champ numérique
d'un octet (8 bits). Celui-ci peut comprendre tous les nombres naturels de
0
à
255
ou bien tous les nombres relatifs de - 127
à
+ 127
(figure 6).
Figure 6. - Champs numériques avec signe.
Champ
hexadécimal
Champ
décimal
Champ
binaire (en signe et valeur absolue)
7F
+ 127
0 1 1 1 1 1 1 1
7E
+ 126
0 1 1 1 1 1 1 0
7D
+ 125
0 1 1 1 1 1 0 1
03
+ 3
0 0 0 0 0 0 1 1
02
+ 2
0 0 0 0 0 0 1 0
01
+ 1
0 0 0 0 0 0 0 1
00
+ 0
0 0 0 0 0 0 0 0
80
- 0
1 0 0 0 0 0 0 0
81
- 1
1 0 0 0 0 0 0 1
82
- 2
1 0 0 0 0 0 1 0
FE
- 126
1 1 1 1 1 1 1 0
FF
- 127
1 1 1 1 1 1 1 1
Note :
Les nombres du champ
hexadécimal sont obtenus en écrivant la valeur hexadécimale des deux quartets
qui composent le nombre correspondant du champ binaire (octet).
En observant la colonne intitulée
champ binaire (en signe et valeur absolue) du tableau de la figure 6, on remarque que l'on a deux codes différents pour le
0
:
0000 0000, que l'on pourrait aussi écrire
+ 0, et
1000 000
que l'on pourrait écrire
- 0.
Donc, en incluant les deux codes du 0,
l'amplitude des champs est toujours de 256 nombres
que ce soit dans le cas des nombres naturels ou bien dans celui des nombres
relatifs.
Ce nouveau système binaire de numération
est un progrès, mais n'est pas encore satisfaisant. A titre démonstratif,
effectuons l'addition suivante, en utilisant la représentation binaire avec signe :
Le résultat
1 0 0 0 1 1 0 0
équivaut à
- 12
et non à
+ 2, comme cela devrait être.
L'addition binaire des nombres avec leur signe ne nous donne donc pas
automatiquement le résultat exact à l'intérieur du système adopté.
Il est donc nécessaire de le
modifier comme suit :
On représente toujours les nombres
positifs selon le code binaire normal (le signe +
est encore un
0) ; les nombres négatifs,
par contre, sont représentés en utilisant le complément à deux de leur
valeur absolue et en conservant le bit
1
comme bit représentant le signe -
(figure 7).
Figure 7. - Champs numériques avec
signe et complément à deux de la valeur binaire négative.
Champ
hexadécimal
Champ
décimal
Champ
binaire (en complément à deux)
7F
+ 127
0 1 1 1 1 1 1 1
7E
+ 126
0 1 1 1 1 1 1 0
7D
+ 125
0 1 1 1 1 1 0 1
4
+ 4
0 0 0 0 0 1 0 0
3
+ 3
0 0 0 0 0 0 1 1
2
+ 2
0 0 0 0 0 0 1 0
1
+ 1
0 0 0 0 0 0 0 1
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
FF
- 1
1 1 1 1 1 1 1 1
FE
- 2
1 1 1 1 1 1 1 0
FD
- 3
1 1 1 1 1 1 0 1
83
- 125
1 0 0 0 0 0 1 1
82
- 126
1 0 0 0 0 0 1 0
81
- 127
1 0 0 0 0 0 0 1
80
- 128
1 0 0 0 0 0 0 0
Dans l'exemple précédent,
+ 7
sera encore représenté par
0 0 0 0 0 1 1 1;
le nombre négatif
- 5
sera par contre exprimé par
1 1 1 1 1 0 1 1.
Avec la nouvelle représentation,
effectuons à nouveau la somme :
Avec cette nouvelle méthode, on
obtient la somme exacte
0 0 0 0 0 0 1 0
(on ne tient pas compte de la retenue).
Jusque-là, il n'y a rien de nouveau
par rapport à la soustraction faite avec la méthode du complément à deux.
Considérons toutefois un autre cas.
Si l'on examine le résultat, on
voit tout d'abord qu'il représente un nombre négatif, le premier bit étant à
1.
En outre,
1 1 1 1 1 0 0
est le complément à deux de
4.
En interprétant le nombre selon la nouvelle méthode, on en déduit que le résultat
exact est
- 4.
Les nombres traités par les
ordinateurs sont généralement codés par cette méthode. En effet, de cette façon,
le résultat d'une addition entre nombres relatifs est automatiquement exact
(s'il n'y a pas de dépassement de capacité) et la soustraction est à considérer
comme une addition de nombres relatifs.
Par exemple, si l'on doit soustraire
- 2
de
+ 4,
on transforme l'opération, en l'addition des nombres
+ 4
et
+ 2, car
+ 4 - (- 2) = + 4 + 2.
On obtient :
La somme
0 0 0 0 0 1 1 0
équivaut à
6,
valeur décimale du résultat de la soustraction.
3. 6. - NOMBRES A PLUSIEURS BYTES
Dans la mémoire des
micro-ordinateurs, les cases disponibles pour enregistrer un nombre ont généralement
une longueur donnée :1 byte,
par exemple, correspond souvent à un nombre de
8 bits.
Supposons que l'on ait à
enregistrer un nombre formé d'une quantité de bits supérieure aux huit bits
qui constituent un byte. Dans de tels cas, on utilise deux ou plusieurs bytes
pour stocker ce nombre et on devra donc réserver dans la mémoire deux ou plusieurs emplacements de
8 bits
pour ce seul nombre.
Dans la mémoire, le nombre sera de
préférence stocké dans des cases contiguës, comme on le voit dans le schéma
suivant (rien n'interdit cependant d'avoir les deux bytes dans des cases non adjacentes).
Comment effectuera-t-on des opérations
avec des nombres occupant deux ou plusieurs bytes en mémoire ?
Il faut en effet savoir que
l'ordinateur peut travailler seulement avec des nombres ayant une longueur donnée.
Supposons que l'on veuille
additionner deux nombres de 2 bytes
en utilisant un ordinateur conçu pour des nombres de
8 bits.
L'addition, dans ce cas, doit être
effectuée en deux temps : un premier temps pour le
byte 0
et un deuxième temps pour le
byte 1.
Dans un premier temps, l'ordinateur
additionne les parties de droite des deux termes (les moins significatives) ;
dans un deuxième temps, il additionne les parties de gauche en tenant compte de
la retenue éventuelle, produite par la somme précédente.
Une telle retenue est stockée dans
une case appropriée de l'unité centrale pour pouvoir être additionnée au bit
le moins significatif du byte suivant, ou bien pour être utilisée par exemple
comme indicateur d'overflow
(dépassement)
quand on dépasse la capacité de l'ordinateur.
Dans les tableaux des figures 6 et
7, en plus du champ binaire et du champ décimal, le champ hexadécimal
correspondant est reporté ; la représentation hexadécimale n'est
pourtant pas utilisée dans les derniers calculs car on a voulu montrer
simplement les problèmes arithmétiques imposés par les caractéristiques opérationnelles
de l'ordinateur.
Les nombres hexadécimaux et parfois
même les nombres octaux, sont utilisés exclusivement par le programmateur en
substitution des expressions binaires pour éviter des fautes de lecture et de transcription.
On reparlera de ces nombres par la suite.
Opérations dans le Système Octal
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