Procédures Employées dans les Systèmes Numériques :
6. - PROCÉDURES EMPLOYÉES DANS LES SYSTÈMES NUMÉRIQUES
Les systèmes numériques, quand ils sont câblés ou programmés
pour effectuer certaines fonctions, remplissent leur tâche à chaque fois
qu'ils sont sollicités et ceci indéfiniment (ou presque), sans fatigue, ni lassitude et à très grande vitesse.
Ils peuvent répéter des procédures longues, sans erreur, avec
pour seules initiatives celles que le technicien aura prévu dans leur programmation.
Ces systèmes sont donc disciplinés mais sans imagination, ce
qui implique que la marche à suivre leur sera indiquée avec ordre et méthode ;
chaque étape devra leur être dictée et décortiquée.
Il apparaît que le technicien doit avoir une parfaite
connaissance du problème que sa machine devra traiter seule par la suite.
Dans le cas qui nous intéresse pour l'instant, il serait
souhaitable de trouver une procédure universelle pour la réalisation de ces opérations
et en fonction de l'opérateur (désignation de l'opération), certaines étapes
pourraient être rendues transparentes.
Si cette solution peut paraître longue, nous savons que cela ne
présente pas vraiment un gros inconvénient, compte-tenu de la vitesse à
laquelle ces calculs sont effectués (sauf pour des cas particuliers : calculs
de balistique... où la vitesse de calcul est primordiale).
Le registre
Avant d'approcher ces méthodes, il faut encore préciser
quelques points. A ce sujet, nous allons empiéter sur la suite, en parlant de registre.
Lorsque l'on désire effectuer une opération dont le résultat
ne peut être trouvé mentalement, on prend une feuille de papier et l'on y
inscrit les nombres : on pose l'opération.
Si l'on est appelé à une autre tâche urgente à ce moment là,
celle-ci achevée, nous revenons auprès de notre feuille de papier sur laquelle
nous retrouvons les nombres précédemment enregistrés.
Il y a mémorisation des informations.
Si nous entrons des informations dans une machine numérique, à
l'aide d'un clavier, avant d'effectuer des transformations sur ces informations,
il faut les stocker, les mettre en mémoire.
Dans ces machines, ces mémoires sont des
registres
(étymologiquement, un registre est un livre dans lequel on consigne des faits
ou actes dont on veut garder le souvenir).
L'information élémentaire en binaire est le
«bit»
(binary - digit
= chiffre binaire).
Cette information est soit 0, soit 1, ce qui, en logique positive, se traduit par l'absence ou la présence
d'une tension.
En conséquence, la cellule élémentaire d'un registre doit être
capable de garder en mémoire de façon définitive, si aucune action extérieure
n'intervient, soit une absence de tension (niveau 0),
soit la présence d'une tension (définie comme étant égale au niveau
1).
En fait, elle mémorise la valeur numérique du bit.
Nous savons que les nombres décimaux (langage de l'être
humain) lorsqu'ils sont exprimés en binaire (langage de la machine) utilisent
un plus grand nombre de poids, et par conséquent, leur écriture est plus longue.
Par exemple, si on veut entrer dans la machine des nombres dont
la valeur numérique n'excède pas 255, il
faudra huit cellules élémentaires de registre en binaire alors qu'il en faudrait trois en décimal.
En résumé, un registre est une mémoire dans laquelle on peut
stocker des nombres binaires. Une de leurs caractéristiques principales, est la
valeur numérique maximale qu'ils peuvent mémoriser, on parle aussi de capacité
ou longueur du registre.
Vous apprendrez dans les prochaines leçons consacrées à ces
registres, comment on entre ces informations, comment elles y restent et comment on y accède.
Pour l'instant, admettez que c'est possible.
Ces registres sont très importants car ils conditionnent la
capacité de calcul du système. Imaginons que notre feuille de papier ne soit
pas assez grande pour y inscrire des nombres de plus de trois chiffres, on
comprend que les calculs seront vite limités.
D'autre part, nous savons qu'un nombre est caractérisé par sa
valeur numérique absolue et par son signe.
Il faut donc trouver une méthode qui permette de lier un signe
à la valeur numérique binaire.
Nous allons décrire maintenant les méthodes envisagées :
La première consiste à mettre devant la valeur absolue du nombre un bit de signe.
Pour un nombre positif, le bit de signe est 0.
Si au contraire il est négatif, le bit de signe est 1.
Exemple :
Le nombre (+ 43), selon la représentation
binaire signée se note :
Le nombre (- 43) se note :
Dans le cas d'un système numérique, par exemple une
calculatrice de poche, la longueur des registres est définie et immuable. S'ils
sont constitués de huit cellules, la représentation de ces nombres est la suivante :
Cette méthode tend à être abandonnée au profit de celle du
complément à 2 que nous décrivons plus loin.
La seconde méthode qui fut employée, n'utilise pas le bit de signe de la même
manière.
Les nombres positifs sont représentés avec un
0 au chiffre le plus significatif.
Les nombres négatifs sont représentés par le complément à 1
du nombre positif correspondant.
Le complément intervient sur le bit de signe, on retrouve, par
conséquent, un 0 pour un nombre positif et un 1 pour les nombres négatifs, au chiffre
le plus significatif.
Un exemple est donné figure 27.
Ce système est aussi abandonné car il présente un inconvénient
de taille : la double expression du 0.
En effet, si l'on décompte des valeurs positives vers 0,
celui-ci aura pour expression 0. Si l'on décompte des valeurs négatives vers 0, celui-ci aura
pour expression 1.
La figure 28 le démontre clairement.
Cette méthode crée une ambiguïté dont les systèmes numériques
ne peuvent s'accommoder sans l'utilisation de subterfuges.
La troisième méthode, qui se généralise, est fondée sur le
complément à 2 (voir chapitre 4. 3. 4. sur
le complément à 2).
Elle consiste, pour les nombres positifs en leur représentation
en binaire pur précédée d'un 0.
Leurs opposés, en valeurs négatives, sont représentés par le
complément à 2.
La complémentation intervient aussi sur le bit de signe et les
nombres négatifs sont précédés d'un 1.
Exemple :
Le nombre (+ 10) est
représenté par :01010
Le nombre (- 10) est
représenté par : 10110
Comme le montre la figure 29.
Cette représentation des nombres binaires négatifs,
par
le complément à 2 ne pose pas l'ambiguïté de la double expression
du zéro et nous servira dans la procédure d'obtention du résultat pour les opérations
effectuées par la machine.
L'utilisation des nombres relatifs impose une diminution de la
capacité des registres, puisqu'une cellule sera réservée au signe.
La figure 30 représente quelques-uns des nombres relatifs entre
(+ 127) et (- 128)
utilisés dans les machines numériques dont les registres comportent huit
cellules élémentaires, donc capables de stocker des mots de huit bits, appelés
octets.
Il est nécessaire lors des discussions de préciser la méthode
utilisée pour la représentation des nombres négatifs, ceci est évident.
De même, il ne faudra pas oublier de faire précéder d'un 0
tous les nombres positifs. Ces deux points sont très importants.
Nous avons parlé de mots de huit bits
ou octets. Dans les systèmes numériques,
un mot, quel que soit le nombre de bits, peut prendre l'appellation de «byte»
(terme anglo-saxon).
Nous venons de voir qu'avec un octet, il était possible de représenter
256 valeurs (+ 127
à - 128 y compris
0).
Il est évident que pour la majorité des calculs, c'est très
insuffisant. Il faut donc avoir recours à un artifice.
On peut étendre le nombre de cellules des registres, mais cela
conduit à certains problèmes au niveau des circuits intégrés.
On peut aussi utiliser plusieurs fois huit
bits. Par exemple, si les nombres sont codés sur deux octets, on
peut représenter 65 536 valeurs numériques,
ce qui représente les nombres relatifs de (+ 32 767)
à (- 32 768) en passant par
0.
Le nombre ainsi représenté se compose de deux fois huit bits,
les huit bits de poids les plus faibles constituent le mot
le moins significatif (M.M.S.) et
les huit bits de poids les plus forts, le mot le plus
significatif (M.P.S.).
On dit aussi, l'octet le moins
significatif (O.M.S.) et
l'octet
le plus significatif (O.P.S.).
Cette façon de procéder utilisant plusieurs octets, prend l'appellation de précision
multiple.
Quand on utilise que deux octets, nous dirons qu'il s'agit de la
double précision.
Dans les machines à calculer, cette résolution n'est pas
encore suffisante. On utilise plusieurs mots ou plusieurs octets (les mots ne
sont pas forcément organisés en octets).
Selon la résolution désirée, on est amené à employer trois
ou quatre mots, ainsi la précision est nettement suffisante.
Cette procédure a pour nom :la
précision multiple.
La précision multiple augmente le temps d'obtention du résultat,
car la machine, pour effectuer les calculs doit appeler les M.M.S.
(mots les moins significatifs), réaliser l'opération avec ceux-ci, stocker le
résultat et le report, s'il existe, puis appeler les mots suivants, effectuer les calculs.
On comprend aisément que si la procédure est plus longue, le résultat
est obtenu un peu plus tard.
Pour un nombre binaire, de même qu'en décimal (nous en avons
parlé au chapitre 1), le chiffre qui occupe le rang de poids le plus élevé a
pour appellation :le bit le plus significatif
ou B.L.P.S..
A l'opposé, celui qui occupe le rang le moins élevé :le bit le moins significatif ou
B.L.M.S..
Jusqu'à présent, nous n'avons parlé que des nombres entiers,
il faut aussi pouvoir représenter les nombres fractionnaires ainsi que, pour
certains cas, les nombres très grands.
La virgule flottante n'est autre que la notation exponentielle
(ou notation scientifique) et elle permet de résoudre le problème de la représentation
des nombres très petits aux nombres très grands.
Ces procédures, précision multiple et virgule flottante, vous
seront utiles quand vous aborderez les microprocesseurs.
Pour l'instant, elles sont décrites pour mémoire et parce
qu'elles s'insèrent normalement dans cette leçon.
Dans le système décimal, il s'agit de la notation utilisant
les puissances de 10.
Cette notation se compose d'une partie que l'on appelle la
mantisse
et d'une seconde que l'on nomme l'exposant.
L'exposant n'est autre que le poids du rang occupé par la
partie entière de la mantisse.
Exemple :
0,00015
s'écrit
:1,5 x
10-4
0,005
s'écrit :5
x 10-3
1246
s'écrit :1,246 x 103
On peut aussi utiliser la convention suivante en reprenant les mêmes
exemples :
0,00015 Þ
0,15 x 10-3
0,005
Þ 0,5
x 10-2
1246
Þ 0,1246
x 104
Tous ces nombres commencent par 0
et puisqu'ils sont tous issus de la puissance de 10,
on peut très bien adopter le système d'écriture suivant :
0,15
x 10-3 Þ
(+ 15) (- 3)
0,5
x 10-2 Þ
(+ 5) (- 2)
0,1246
x 104 Þ
(+ 1246) (+ 4)
La mantisse
M
est toujours inférieure à
1
et égale ou supérieure à
0,1
:
0,1 £
M <
1
Dans les systèmes numériques et en
particulier avec les microprocesseurs, il ne s'agit plus de la puissance de 10,
mais de la puissance de 2, puisque nous travaillons en binaire.
Dans ces systèmes utilisant des
mots de huit bits ou octets, on peut conserver cette forme d'écriture en
affectant un mot pour la mantisse et un mot pour l'exposant.
Dans l'exemple numérique, on s'aperçoit
qu'avec un octet, on ne pourra représenter la valeur numérique
1246,
surtout si on utilise la méthode du complément à 2
pour les valeurs négatives car il ne reste alors que sept bits pour exprimer
cette valeur numérique.
En utilisant la précision multiple,
c'est-à-dire en travaillant sur plusieurs octets, cela devient possible.
Si par exemple on utilise trois
octets pour la mantisse et son signe, et un octet pour l'exposant et son signe,
on peut représenter les nombres relatifs dans les limites suivantes :
(+ 223
- 1) x 2127 à (- 223) x 2127
Soit en décimal :
± 0,142
x 1046 ou, ±
142 suivi de 43 zéros.
Les valeurs aussi petites que
(±
1) x 2-127
peuvent être représentées, soit en décimal :
± 0,58
x 10-38 ou, ±
0, ... 38 zéros ... 58.
Cette façon d'écrire les nombres,
en gardant la mémoire de l'emplacement de la virgule décimale, permet les
calculs sur des nombres très grands ou très petits (fractionnaires).
Pour résumer, dans les systèmes
numériques destinés aux calculs, on utilise pour la représentation des
nombres relatifs, le complément à 2 pour les nombres négatifs, la précision
multiple et la notation exponentielle ou virgule flottante.
Si on utilise quatre octets, trois
pour la mantisse et un pour l'exposant, tous les nombres seront représentés
par ce même nombre d'octets, c'est-à-dire qu'ils auront tous le même format.
Soit :
pour l'exposant
7
bitsÞ
127
(décimal) plus le signe : ±
127,
donc 2± 127
pour la mantisse 23 bitsplus un pour le signe, ce qui correspond
à : ±223
Les opérations, en virgule flottante, sont soumises à une procédure
spéciale.
La multiplication ne pose pas de difficulté, on multiplie les
mantisses entre elles et on additionne les exposants.
L'addition nécessite une opération de recalage qui consiste à
rendre les exposants égaux en valeur absolue, ce qui est impératif dans ce
cas, car on ne doit additionner que des nombres de même poids.
Nous n'entrerons pas plus dans ces détails
et sachez qu'il existe des circuits intégrés spécialement conçus pour les opérations
en virgule flottante.
Les nombres signes
Le registre 
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