Définition : On appelle progression arithmétique, une suite de nombres tels que chacun d'eux
est égal au précédent augmente ou diminue d'un nombre constant appelé raison.
Exemple:
Progression arithmétique croissante de raison + 2 :
1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; ...
Progression arithmétique décroissante de raison
- 3:
19 ; 16 ; 13 ; 9 ; 6 ; 3 ; 0 ; - 3 ; - 6 ; ...
1. 1. 2. - PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE
Définition :On
appelle progression géométrique une suite de nombres tels que chacun d'eux est
égal au précédent multiplié ou divisé par un nombre constant appelé raison.
Exemple :
Progression géométrique croissante de raison 2:
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; ...
Progression géométrique décroissante de raison
3:
1 ; 1 / 3 ; 1 / 9 ; 1 / 27 ; 1 / 81 ; ...
1. 2. - LOGARITHME D'UN NOMBRE
1. 2. 1. - LOGARITHME D'UN NOMBRE SUPÉRIEUR A 1
Prenons une progression géométrique croissante
de raison 10 et dont le premier est égal à 1 :
1 - 10 - 100 - 1 000 - 10 000 - ; .... 10n
Prenons maintenant une progression arithmétique
de raison + 1 et dont le premier terme est égal à 0.
0 - 1 - 2 -3 -
4 -5 ; .... n
Écrivons ces deux progressions l'une sous l'autre :
P.G. :
1
10
100
1 000
104
105
... 10n
P.A. :
0
1
2
3
4
5
... n
Si nous prenons deux nombres d'une même colonne,
nous dirons par définition que le nombre de la progression arithmétique est le
logarithme du nombre de la progression géométrique.
Ainsi, nous dirons que 2 est le logarithme de 100.
On écrit : log
pour logarithme
2 = log 100 = log 102
5 = log 100 000 = log 105
n = log 10n
et en particulier
0 = log 1
1 = log 10
Le logarithme correspond donc à l'exposant de la
puissance de base 10
;2 est le logarithme de 102 = 100; 3 celui de 103
= 1 000 ;5 celui de 105
...
Règle :Le logarithme d'une puissance de 10 supérieur à 1 est positif et égal à
l'exposant de la puissance de 10.
Remarque : La raison de la
progression géométrique étant 10, les logarithmes obtenus, sont dits décimaux ou à base 10
ou encore vulgaires.
1. 2. 2.- LOGARITHME D'UN NOMBRE COMPRIS ENTRE 0 ET 1
La même progression géométrique que celle définie
plus haut, donne :
La même progression arithmétique que ci-dessus
vers les nombres négatifs, donne :
- n .... ;-5 ; - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ....
Écrivons les deux progressions l'une en-dessous
l'autre. Comme précédemment, le nombre de la progression arithmétique est le logarithme du nombre correspondant de la progression géométrique.
Règle:
Le logarithme d'une puissance de 10 inférieure à 1 est négatif et égal à l'exposant de la puissance de 10.
Le même procédé a été utilisé pour déterminer
les logarithmes des nombres décimaux et des tables de logarithmes ont été établies.
Nous parlerons de ces tables un peu plus tard.
1. 2. 3. - TABLEAU RÉCAPITULATIF
Résumons ce qui vient d'être dit.
Nombres décimaux > 0
Puissance de 10
Logarithmes
0
-
-
0,0001
10-4
- 4
0,01
10-2
- 2
0,1
10-1
- 1
1
100
0
10
101
1
100
102
2
1 000
103
3
10 000
104
4
On retiendra que :
Les nombres négatifs n'ont pas de logarithme ;
Le logarithme de 1 est égal à zéro ;
Les logarithmes des nombres plus grands que 1 sont positifs ;
Les logarithmes des nombres supérieurs à 0 et inférieurs à 1 sont négatifs ;
Seules les puissances de 10 ont pour logarithmes des nombres entiers.
Exemples :log 1 000 = 3 ; log 0,001 = - 3
1. 3.- PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES
1. 3. 1.- LOGARITHMES
D'UN PRODUIT
Soient deux nombres A
et B, et a
et b
leurs logarithmes.
a = log A
b = log B
Nous pouvons écrire d'après la définition même
des logarithmes (paragraphe 1. 2.)
A = 10a
B = 10b
Soit maintenant le produit AB:
P =AB =10a . 10b = 10a + b
et en prenant le logarithme des deux membres :
log AB = a + b
= log A + log B
D'où la formule fondamentale suivante:
log AB = log A + log B
Vous voyez tout de suite l'intérêt des
logarithmes : on a remplacé le calcul d'un produit par celui d'une somme.
En généralisant, nous écrirons :
log ABCD = log A
+ log B + log C + log D
Exemple : Nous devons calculer le
logarithme du nombre 300.
Nous allons décomposer 300 en un produit de facteurs inférieurs à 100.
300 =3 x 100
log 3 = 0,47712
log 100 =2
D'où, en appliquant les règles précédentes :
log 300 = log 3 +
log 100
log 300 = 0,47712 +
2
log 300 = 2,47712
On aurait encore pu écrire :
300 =10 x 30
log 10 = 1
log 30 = 1,47712
log 300 = 2,47712
Ou encore :
300 = 3 x 10 x 10
log 3 =0,47712
log 10 = 1
log 10 = 1
log 300 = 0,47712
+ 1 + 1 = 2,47712
1. 3. 2. - LOGARITHME D'UN QUOTIENT
Soit le quotient A / B = Q
D'où l'on tire :
A = B . Q
Appliquons la règle précédente :
log A = log B + log Q
ou log Q =log A - log B
Donc :
Une division a été remplacée par une
soustraction.
Exemple:
Soit le quotient :200 / 10 dont nous voulons connaître le logarithme.
Il est bien évident que nous aurions pu, au départ,
calculer le quotient de 200 / 10, soit 20 et chercher le logarithme de 20 ou le
calculer en fonction des règles connues et sachant que 20 = 2 x 10.
Autre exemple :
Soit le quotient 59/27 dont nous voulons connaître le logarithme :
log 59 / 27 = log 59 - log 27
La table ou tout simplement d'une calculatrice
dite "scientifique" nous donne directement les valeurs :
log 59 =
1,77085
log 27 = 1,43136
D'où
log 59 / 27 = 0,33949
1. 3. 3. - LOGARITHME D'UN NOMBRE ÉLEVÉ A UNE PUISSANCE P
Soit le nombre A
élevé à la puissance p:
Ap =A
x A x A x A x.....x A
Donc : log Ap = log A + log A +
log A +.....+ log A
log Ap = p log A
Exemple : Quel
est le logarithme de 1 000 ?
1 000 = 10 x 10 x 10 =103
Appliquons la dernière relation :
log 103 = 3 log 10
= 3 x 1
log 103 =3
Autre exemple:Quel est le logarithme de 102,5 ?
log 102,5 = 2,5 log 10
= 2,5 x 1
log 102,5 = 2,5
Troisième et dernier exemple:
Quel est le logarithme de 1 600 ?
1 600 = 16 x 100 = 42 x 102
Nous nous trouvons avec un produit dont chacun
des termes est élevé au carré :
D'où :
log 1 600 = log 42+ log 102
log 42 = 2 log 4
= 2 x 0,60206 = 1,20412
log 102 = 2 log 1
= 2 x 1 = 2
et enfin
log 1 600 = 1,20412 + 2
soit :
log 1 600= 3,20412
1. 3. 4. - GÉNÉRALISATION
La formule ci-dessus reste valable si (p)
est un nombre fractionnaire : p = m / n
Or, une puissance fractionnaire est une
extraction de racine.
En particulier si
m / n = 1/ 2, nous avons une extraction de racine carrée :
Vous sentez plus encore, dès maintenant, l'intérêt
considérable que peuvent présenter les logarithmes. Une extraction quelconque de racine (aussi compliqué que l'on veut) qui serait inextricable par la méthode
de calcul classique, se résout très rapidement à l'aide des logarithmes.
Prenons un exemple :
Soit à extraire la racine carrée de 100.
Or, le nombre R qui a pour logarithme 1 est 10,
donc :
R = 10
Nous voyons que les logarithmes permettent
d'effectuer facilement des calculs complexes à condition, bien entendu, de bien
connaître les règles d'application.
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Les nombres négatifs n'ont pas de logarithme ;
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