Nous abordons maintenant notre troisième leçon
de mathématiques. Il est composé de deux parties importantes.
La première est consacrée à
l'algèbre. Vous connaîtrez ce qu'est une expression
algébrique et apprendrez à effectuer des calculs sur les monômes
et les polynômes. Vous verrez ensuite ce qu'est une équation et comment la résoudre.
Dans la seconde partie, il sera question des logarithmes.
Vous verrez que par leur intermédiaire les calculs complexes avec les puissances et les extractions de racine se transforment en simples
multiplications ou divisions.
D'autre part, comme vous êtes maintenant habitués
aux développements mathématiques, nous les emploierons désormais de préférence
aux explications littérales toujours plus longues et moins précises.
Enfin, comme nous l'avons déjà dit et répété
dans les deux premières leçons, nous vous invitons à refaire les exercices
cités en exemples, tant au cours de vos lectures que quelque temps après.
1. - EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
1. 1. DÉFINITION
On appelle expression algébrique,
un ensemble de lettres et de nombres reliés entre eux par des signes indiquant les opérations à effectuer.
Exemple :
Chaque lettre représente un nombre. Si la même
lettre figure plusieurs fois dans la même expression, elle y représente le même
nombre. Pour obtenir la valeur numérique de l'expression, il suffit de remplacer chaque lettre par le nombre qu'elle représente.
Exemple: calculez la valeur numérique de :
Lorsquea
= 1 et b = 2
Nous écrivons :
3 x (1)2 x (2) + 4 x (1) x (2)2 / (1)2 + (2)2 = 6 + 16 / 1
+ 4 = 22 / 5 = 4,4
1. 2. - CALCUL DE LA VALEUR NUMÉRIQUE D'UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE
Il faut du soin et de l'attention. Tout ce qui se
trouve dans une parenthèse, devra être considéré un nombre unique à prendre
comme tel, après l'avoir calculé.
La règle des signes, que nous avons vu,
s'applique évidemment dans ces calculs. D'autre part, la règle concernant la
suppression des parenthèses précédées du signe +
ou - s'applique également :
Exemple:si
a = 1 et b = 2, on obtient :
(a + b) X (a - b) = (1 + 2) X (1 - 2) = 3 X (- 1) = - 3
Étant donné qu'un monôme est un produit de
facteurs, et que l'on peut intervertir l'ordre de ses facteurs, sans changer le
résultat, il faut toujours s'arranger pour réduire les monômes sous une forme
condensée plus facilement utilisable :
Exemple :
3 . a . 5 . 2 . b . y2
3 . 5 . 2 . a . b . y2 = 30aby2
Un monôme est composé de deux partie :
Un facteur numérique que l'on appelle coefficient;
Un produit de facteurs littéraux que l'on
appelle partie littérale.
Exemples :
3a2b
3 est le coefficient et
a2b est la partie littérale ;
a2b 1 est le coefficient et a2b
est la partie littérale ;
-a2b - 1
est le coefficient
et a2b
est la partie littérale.
(Pour les deux dernières expressions, le
coefficient 1 est sous-entendu).
2. 2. - DEGRÉ D'UN
MONÔME ENTIER
2. 2. 1. - DEGRÉ D'UN MONÔME PAR RAPPORT A UNE LETTRE
Définition :
On appelle degré d'un monôme par rapport à une lettre, l'exposant de cette
lettre dans ce monôme.
3a2b
est de degré 2 pour (a) et de
degré 1 pour b.
x3y4est de degré 3 pour (x)
et de degré
4 pour y.
2. 2. 2 . - DEGRÉ D'UN MONÔME
PAR RAPPORT A UN ENSEMBLE DE LETTRES
Définition : On
appelle degré d'un monôme par rapport à l'ensemble des lettres, la somme des
exposants de toutes ses lettres.
Le monôme 2a2bx3y4
est de degré 10 (2 + 1 + 3 + 4)
pour l'ensemble de ses lettres.
2. 3. - MONÔMES SEMBLABLES
Définition :
Des monômes semblables sont des monômes qui ont même partie littérale.
Exemples :
3a2b ; 4a2b
; - 8a2b sont des monômes semblables
Il en découle tout de suite
que la somme de plusieurs monômes semblables est un monôme semblable dont le
coefficient est la somme des coefficients des monômes :
3a2b + 4a2b
- 8a2b = (3 + 4 - 8) . a2b = - a2b
C'est ce que l'on appelle réduire
les monômes semblables.
2. 4. - OPÉRATIONS SUR LES MONÔMES
2. 4. 1. - PRODUIT DE PLUSIEURS MONÔMES
Le produit de plusieurs monômes est un monôme :
- dont le coefficient est le
produit des coefficients des monômes donnés ;
- dont la partie littérale
comprend les lettres contenues dans les monômes, chacune d'elles étant affectée
d'un exposant égal à la somme de ses exposants dans les facteurs.
Exemple :
3a2b . 4b2c . - 5bd = - 60a2b4cd
Coefficient : (3) . (4) . (- 5) = - 60
Degré pour a : 2
Degré pour b : 1 + 2 + 1 = 4
degré pour c : 1
degré pour d : 1
Pour l'ensemble : 2 + 4 + 1 + 1 = 8
2. 4. 2. - QUOTIENT DE MONÔMES
Le quotient d'un monôme par un monôme s'écrit
sous la forme d'une fraction qu'il faut simplifier au maximum.
exemples :
3a2b : 4b2c = 3a2b / 4b2c = 3a2 / 4bc
On a simplifié numérateur et dénominateur par
le terme commun b.
4ab2c3
: 2a2b2c2 = 4ab2c3 / 2a2b2c2
= 2 (c / a)
On a simplifié numérateur et dénominateur par
2ab2c2.
Remarque :
Un monôme A est divisible par un nombre B, lorsque A contient toutes les lettres de B avec
des exposants aux moins égaux.
Un polynôme est une somme de
plusieurs monômes qui sont les termes du polynôme.
Exemples :
3ac2 + bc3 + 4 ; 2 / 5 . x2 + 3ax2 - 2 / 3 . x
3. 1. 2. - BINÔME
On appelle binôme, un polynôme
qui ne contient que deux termes.
Exemple : 3a + 4b
3. 1. 3. - TRINÔME
On appelle trinôme, un polynôme
qui ne contient que trois termes.
Exemple :2x2 - 3xy + 4y2
3. 2. - RÉDUCTION DE POLYNÔMES
Il faut toujours commencer par rendre le polynôme
le plus simple possible.
Exemple :
3x3 + 5x2y
+ 2xy2 + 2x3 - 4x2y + 2xy2
En réduisant, on trouve :
3x3 + 2x3
= 5x3
5x2y - 4x2y = x2y
2xy2 + 2xy2 = 4xy2
Le polynôme réduit s'écrira donc :
5x3 + x2y + 4xy2 dont
la forme est quand-même plus simple que celle proposée ci-dessus.
Remarque : Il est de règle d'écrire
un polynôme de manière que les degrés de ses termes, par rapport à une de
ses lettres, aillent soit en diminuant, soit en augmentant.
Exemples :
- 8ax3 + 6bx2
+ 3cx est ordonné par rapport aux
puissances décroissantes de x.
- 3 + 2xy + (4 / 3) . xy2
- 6y3 est ordonné par rapport aux
puissances croissantes de y.
D'autre part, on peut ordonner un polynôme (ou
un monôme) en fonction de l'ordre alphabétique de ses lettres.
Exemples :
Au lieu de:
3ayx + 4yxz - 3bac
On écrira: 3axy + 4xyz - 3abc
et mieux:- 3abc + 3axy + 4xyz
3. 3. - DEGRÉ D'UN POLYNÔME
Définition :Le degré d'un polynôme par rapport à une lettre est l'exposant le plus élevé
de cette lettre dans le polynôme.
3. 3. 1.
- POLYNÔME A UNE SEULE LETTRE
Exemples :
2a + 3 est un binôme de premier degré en a ;
3a2 + 2a - 4 est un trinôme de second degré en a ;
8x2 - 3 est un binôme de second degré en x.
3. 3. 2. - POLYNÔME A PLUSIEURS LETTRES
Exemples :
x4 - 2xy3 est de degré 4 pour x et 3 pour y.
3. 4. - OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES
3. 4. 1. - ADDITION DE POLYNÔMES
Règle :La somme de plusieurs polynômes s'obtient en écrivant les termes des polynômes
les uns à la suite des autres et en réduisant les termes semblables du polynôme obtenu.
Règle :
Pour multiplier un polynôme par un monôme, on multiplie successivement chaque terme
du polynôme par le monôme.
C'est le produit d'une somme par un nombre.
Exemple :
(2x3-
x2+ 2) . (3xy) = 6x4y - 3x3y
+ 6xy
3. 4. 4.
- PRODUIT D'UN POLYNÔME PAR UN POLYNÔME
Un polynôme étant la somme de plusieurs monômes,
on appliquera la règle de la multiplication d'une somme par une somme.
Règle :Pour multiplier deux polynômes entre eux, on multiplie chaque terme de l'un
successivement par chaque terme de l'autre et on ajoute algébriquement les produits obtenus. Ensuite on réduit les termes semblables.
Exemple :
(2ab - 3a + b) . (ab + 2a - b) =
2a2b2
- 3a2b + ab2
+ 4a2b - 6a2
+ 2ab
- 2ab2 + 3ab
- b2
Produit par ab
Produit par 2a
Produit par - b
Et en réduisant
: 2a2b2 + a2b - ab2
- 6a2 + 5ab - b2
3. 4. 5. - PRODUITS
REMARQUABLES
Il y a quelques produits remarquables qu'il est souhaitable de connaître par cœur.
Carré de la somme de deux nombres :
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2
Carré de la différence de deux nombres :
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2
Produit de la somme de deux nombres par leur différence
:
(a + b) (a - b) = a2 - b2
D'autres produits remarquables sont importants:
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
et
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
ainsi que
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
et
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3
Remarque : L'utilisation des
produits remarquables conduit souvent à la décomposition d'un polynôme en
produits de facteurs plus simples qui sont susceptibles de réductions ultérieures.
Prenons un exemple, soit :
Le numérateur et le dénominateur sont des
produits remarquables. Nous pouvons donc écrire :
et en simplifiant par
a + b nous trouvons :
Expression plus simple que celle proposée.
3. 4. 6. -DIVISION
D'UN POLYNÔME PAR UN MONÔME
Le quotient du polynôme
P = 10x3 - 4x2y + 6xy2par le monôme 2x
est le polynôme qu'il faut multiplier par 2x
pour obtenir le polynôme P. On écrit :
Un polynôme est donc divisible par un monôme
lorsque tous les termes de ce polynôme sont divisibles par ce monôme.
Règle :
Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise tous les termes de ce polynôme
par le monôme.
Application :
1 -Mise en facteur commun.
Considérons le polynôme :
25ax4 + 35ay4 - 55ax2y2
Tous ses termes étant divisibles par
5a,
on peut l'écrire sous la forme :
5a (5x4 + 7y4 - 11x2y2)
On dit que le monôme (5a)
a été mis en facteur commun dans le polynôme.
Le monôme de plus haut degré pouvant être mis
en facteur dans un polynôme comprend les lettres communes à tous les termes,
chaque lettre étant affectée du plus petit exposant qu'elle a dans le polynôme.
Le coefficient du monôme mis en facteur peut être arbitraire (exemple 1),
mais on prend le plus souvent pour coefficient le plus grand commun diviseur des
coefficients des termes (exemple 2).
Exemple 1:
18x3y - 11x2y2
+ 22xy3 = x (18x2y - 11xy2 + 22y3)
Nous avons pris (x)
comme facteur commun, alors que nous aurions pu prendre xy.
Exemple 2:
12x2y3
+ 15x3y2 = 3x2y2 (4y + 5x)
2 - Décomposition d'un polynôme
en un produit de facteurs.
Cette décomposition est possible :
a - mettant un monôme en facteur commun
b - en groupant les termes du polynôme de
manière à pouvoir effectuer ensuite des mises en facteur commun.
Exemple:
ab + bx + ay + xy = (ab + bx) + (ay + xy)
Mettons (b)
en facteur commun dans la première somme et (y)
en facteur commun dans la seconde :
b (a + x) + y (a + x)
Mettons (a + x)
en facteur :
(a + x) (b + y)
c - en appliquant les propriétés des produits
remarquables.
Exemple 1 :
4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2 ; application de (a + b)2
Calculs sur les monômes
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