Ces correspondances étaient très utilisées pour économiser des boîtiers dans les circuits numériques, mais la baisse des prix des circuits a fait pratiquement abandonner ce système qui est source d'erreurs.

Sur les catalogues de circuits intégrés, la fonction indiquée est celle que celui-ci aurait en logique positive. Un circuit ET du commerce fonctionne donc comme un ET en logique positive et comme un OU en logique négative.

Dans toute la suite de cette théorie, il ne sera plus question que de convention logique positive, c'est-à-dire la convention que nous avons toujours utilisée. Le chapitre 2 de cette théorie peut donc être considéré comme une parenthèse. Vous vous reporterez à ce paragraphe uniquement au cas peu probable où vous rencontreriez un système ancien utilisant la convention logique négative.

3. - THÉORÈMES DE DE MORGAN

3. 1. - 1er THÉORÈME DE DE MORGAN

Démonstration par les cercles d'Euler figure 40.

Soit un ensemble A et son complément (hachures vertes) et un ensemble B et son complément (hachures rouges).

La réunion A È B de A et de B sera la surface incluse dans le contour bleu.

Le complément de A È B par rapport à   sera la surface doublement hachurée soit . Cette surface étant doublement hachurée, il va de soit que c'est bien l'intersection des compléments de A et de B soit .

On peut donc bien dire que :

Nous pouvons donc dire en algèbre de Boole que :

= .

L'inverse d'une somme logique de deux variables est égal au produit logique des inverses de ces deux variables.

3. 2. - 2ème THÉORÈME DE DE MORGAN

Démonstration par les cercles d'Euler (figure 41).

Soit un ensemble A et son complément (hachures vertes) et un ensemble B et son complément (hachures rouges).

L'intersection de A et B : A Ç B sera la surface incluse dans le contour bleu.

Le complément de A Ç B soit sera la partie hachurée en noir.

Nous voyons par ailleurs que cette même surface hachurée en noir est l'union de et soit , en effet cette zone hachurée noire recouvre toutes les hachures vertes et toutes les hachures rouges .

En algèbre de Boole, nous pouvons donc écrire :

= +  

L'inverse du produit logique de deux variables est égal à la somme des inverses des deux variables.

3. 3. - RETOUR SUR LES FONCTIONS NAND ET NOR

3. 3. 1. - OPÉRATEUR NAND

Dans le chapitre précédent, nous avons vu pour l'opérateur NAND, dont l'équation était S = , le circuit électrique suivant (figure 42).

Nous pouvons maintenant grâce au théorème de De Morgan simplifier ce circuit, en effet S = = + . Il suffit donc de mettre deux contacts au repos en parallèle pour obtenir le même résultat que précédemment ce qui est très intéressant (figure 43).

Vérifions le fonctionnement de ce circuit (figure 44) en étudiant les quatre possibilités de combinaisons de a et b.

Reportons les résultats obtenus dans un tableau de Karnaugh (figure 45).

Nous retrouvons bien le tableau de Karnaugh d'un circuit NAND (figure 43).

Nous voyons au passage que le tableau de Karnaugh donne lui aussi S =  + et que grâce à lui, on obtient bien la solution la plus simple.

3. 3. 2. - OPÉRATEUR NOR

Dans le chapitre précédent, nous avons vu l'opérateur NOR dont l'équation était S = compte tenu du théorème de De Morgan nous pouvons écrire :

S =   = .

D'où le schéma de la figure 46 :

Vous pourrez vous-même réaliser les vérifications de la bonne conformité de la table de vérité de ce circuit NOR avec celle que nous connaissons.

3. 4. - ASSOCIATION DE CIRCUITS, TRANSFORMATION DE SCHÉMA

Nous avons étudié différentes fonctions fondamentales qui sont disponibles sous forme de circuits intégrés.

Dans chaque boîtier, il y a plusieurs fonctions du même type. C'est ainsi que l'on rencontre des circuits intégrés contenant quatre NAND à deux entrées.

Le concepteur de systèmes numériques devra donc lorsqu'il aura utilisé un NAND savoir que dans le même boîtier trois autres NAND à deux entrées sont disponibles et encore inutilisés.

Il sera donc parfois intéressant de pouvoir transformer un circuit ET en deux circuits NAND, par exemple si l'on a un excédent de portes NAND disponibles alors qu'il serait nécessaire de mettre un boîtier supplémentaire contenant des ET.

Le problème se complique lorsque l'on veut faire par exemple un OU avec des NAND. On a alors recours a une simplification au moyen du théorème de De Morgan.

Le théorème de De Morgan nous donne la relation suivante : = + qui permet de développer les équivalences entre circuits.

Si l'on observe le premier terme de l'égalité, c'est-à-dire , on remarque que c'est le résultat obtenu en sortie d'un NAND à partir de deux variables a et b présentes sur les entrées.

Le second terme de l'égalité + représente une somme logique, c'est-à-dire le résultat obtenu à la sortie d'un OU dont on a complémenté les entrées.

La représentation schématique de cette égalité est faite à la figure 47.

Ceci signifie qu'un NAND est équivalent à un OU précédé d'inverseurs.

Pour vérifier en pratique que les deux montages précédents sont bien équivalents, il suffit d'appliquer des niveaux logiques en a et en b au second montage pour voir si l'on peut écrire une table de vérité analogue à celle d'un circuit NAND. Dans ce cas, les deux montages seront bien équivalents.

Nous savons qu'il existe 4 combinaisons différentes de deux variables a et b ; si vous le désirez vous pouvez effectuer la vérification pour ces quatre combinaisons. Nous n'étudierons pour notre part que la combinaison a = 0 et b = 0.

La figure 48 montre le résultat pour a = b = 0. Connaissant les tables de vérité des inverseurs, celle des ET et celle des OU, il nous a été facile de trouver ce résultat.

Le niveau de la sortie est alors à 1 pour les deux montages.

En procédant de la même manière, nous pouvons vérifier que l'équivalence est valable lorsque a = 0 et b = 0, a = 1 et b = 0 et enfin lorsque a = b = 1. Nous retrouvons ainsi la table de vérité d'un NAND.

Le circuit OU à entrées complémentées peut se représenter comme indiqué figure 49.

Exemple :

Appliquons ce principe au schéma de la figure 50.

Pour voir comment il fonctionne, on le transforme en un circuit équivalent en appliquant le théorème de DE MORGAN au circuit NAND de sortie.

Nous obtenons la figure 51.

Nous voyons maintenant que chaque circuit NAND est suivi d'un inverseur, ce qui revient à remplacer le NAND et l'inverseur par un ET. En effet, on peut dire que = y (deux inversions successives s'annulent).

On obtient ainsi le circuit logique de la figure 52.

Le circuit n'est autre que celui d'un OU exclusif déjà présenté figure 25.

Le théorème de DE MORGAN nous a permis de trouver un circuit équivalent. Nous verrons par la suite comment tirer profit de celui-ci dans d'autres exemples.

Dès à présent nous pouvons voir que tout circuit logique peut être réalisé avec uniquement des circuits d'un même type, des NAND par exemple.

Le concepteur de circuit a toujours la possibilité de choisir à sa convenance le type de boîtier qu'il souhaite utiliser.

Jusqu'à présent, nous avons appliqué le théorème de DE MORGAN aux circuits NAND mais il peut être appliqué d'une façon générale à toute équation logique et en particulier à la fonction NOR.

Dans ce dernier cas, la relation est = . 

Nous pouvons matérialiser cette égalité par le schéma de la figure 53.

Si vous le désirez, vous pouvez facilement en reprenant le même principe que pour la démonstration de l'équivalence schématisée figure 47 (cas du NAND) établir la table de vérité de chacun des montages figure 53 pour démontrer l'équivalence de ceux-ci.

Fin de cette leçon et nous allons apprendre la Méthode de QUINE-MAC CLUSKEY.

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