Il est bien évident que l'on n'est pas obligé de passer par tous les calculs intermédiaires. Il faut essayer de trouver le plus grand commun diviseur des deux nombres.

Exemple :

On voit immédiatement que 27 est divisible par 3 ainsi que 36. Mais on s'aperçoit aussi que ces deux nombres sont divisibles par 9 ; d'où :

Nous venons de voir qu'on ne change pas la valeur d'une fraction en divisant ses deux termes par le même nombre. Ceci est aussi vrai pour la multiplication de ces deux termes, mais toujours par un même nombre non nul.

Exemple :

D'où la règle : On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant chacun de ses termes par un même nombre non nul.

2 - On peut, pour simplifier l'écriture lors de la réduction au même dénominateur, ne pas poser tous les calculs comme on l'a fait mais effectuer les opérations mentalement.

Dans l'exemple qui suit, les flèches indiquent les produits à effectuer.

Exemple :

D'autre part, puisque l'on sait que le dénominateur sera le même pour les deux fractions, on peut ne l'inscrire qu'une seule fois, ce qui devient :

5. 3. 4. - SOUSTRACTION

Règle : Pour retrancher deux fractions entre elles, il faut :

1) Les réduire au même dénominateur ;

2) Soustraire les numérateurs ;

3) Garder le dénominateur commun.

Dans l'exemple qui suit nous allons, pour alléger l'écriture, procéder comme il vient d'être dit dans la remarque précédente :

5. 3. 5. - PUISSANCES

Règle : Pour élever une fraction à une puissance, on élève chaque terme de la fraction à la puissance (on devrait dire "exposant").

Exemple :

5. 3. 6. - RACINES

Règle : la racine d'une fraction est égale à la racine de chacun de ses termes.

Exemple :

 5. 4. - OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS ET LES NOMBRES ENTIERS

5. 4. 1 - Multiplication

On peut convertir ces nombres fractionnaires en nombres décimaux.

Exemples :

On peut également convertir les nombres fractionnaires en fraction.

Exemples :

Résumé :

  6. - RAPPORTS 

Définition : On appelle rapport de deux nombres "a" et "b" la quotient exact de ces deux nombres.

C'est ce que nous avions vu en examinant les fractions.

On définit également le rapport de deux nombres comme étant le nombre par lequel il faut multiplier le second pour obtenir le premier.

Ainsi de a / b = c, on peut écrire c x b = a. Cela est maintenant évident. En effet, nous reconnaissons la manière d'effectuer la preuve de la division.

6. 1. - PROPRIÉTÉS DES RAPPORTS

Comme un rapport s'exprime sous la forme d'une fraction, les règles examinées au sujet des fractions s'appliquent toutes aux rapports, et en particulier les sommes, produits et quotients.

Un rapport est donc assujetti aux mêmes règles et susceptible des mêmes simplifications qu'une fraction.

Dans l'étude des propriétés qui suit, nous rappellerons simplement celles que nous avons déjà vues avec les fractions.

Première propriété : On ne change pas la valeur d'un rapport en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre :

Deuxième propriété : Pour additionner deux ou plusieurs rapports, on les réduit au même dénominateur, puis on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

Troisième propriété : Pour multiplier entre eux deux ou plusieurs rapports, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

Quatrième propriété : Pour diviser deux rapports entre eux, on multiplie le rapport dividende par le rapport diviseur inversé :

Cinquième propriété : Dans une suite de rapports égaux, le rapport obtenu, en prenant comme numérateur la somme des numérateurs, et comme dénominateur la somme des dénominateurs, est un rapport égal aux précédents.

Exemple :

Sixième propriété : Dans une suite de rapports égaux, le rapport obtenu en prenant comme numérateur la différence des numérateurs, et comme dénominateur la différence des dénominateurs, est un rapport égal aux précédents.

7. - PROPORTIONS

Définitions : On appelle proportion l'égalité de deux rapports.

• - a, b, c et d sont les termes de la proportion ;

• - a et d sont les termes extrêmes, appelés plus simplement ("extrêmes") ;

• - b et c sont les termes intermédiaires, appelés "moyens".

7. 1. - PROPRIÉTÉS DES PROPORTIONS

Première propriété : Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Soit :

Nous voyons immédiatement que : 2 X 6 = 3 X 4

Et plus généralement :

Deuxième propriété : Dans une proportion, on peut permuter :

      soit les extrêmes ;

      soit les moyens ;

      ou les extrêmes et les moyens.

Reprenons l'égalité littérale trouvée précédemment :

Divisons les deux membres de cette égalité par le produit ab :

Divisons cette fois les deux membres par le produit cd :

Divisons enfin cette égalité par le produit ac :

Troisième propriété : Dans une proportion, on peut remplacer chaque rapport par son inverse :

7. 2. - QUATRIÈME PROPORTIONNELLE

Définition : On appelle quatrième proportionnelle aux trois nombres a, b et c le nombre x tel que :

En faisant l'égalité entre le produit des extrêmes et des moyens, on trouve : ax = bc

Et, en divisant les deux termes par a :

7. 3. - MOYENNE PROPORTIONNELLE

Définition : On dit que le nombre x est moyen proportionnel entre a et b. Si :

Faisons produit des extrêmes = produit des moyens :

Remarques :

• 1) a et b sont tous deux positifs ou tous deux négatifs.

• 2) Le signe ± se lit "plus ou moins". Il est nécessaire dans notre exemple car un carré a toujours deux racines carrées opposées. En effet, (+2)² = 4 et (-2)² = 4 (Application de la règle des signes).

7. 4. - RÉCAPITULATION DES PROPRIÉTÉS DES RAPPORTS PROPORTIONS

Pour bien comprendre les leçons d'électroniques, nous allons continuer les maths afin de comprendre et de connaître la représentation graphique.

Avec les graphiques, nous avons toutes les valeurs sous les yeux et le calcul se réduit à une simple observation, complétée tout au plus par quelques opérations graphiques.

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