E1A3D en hexadécimal est donc égal à 924 221 en décimal.

1. 5. - NOTATIONS DES SYSTÈMES NUMÉRIQUES

Dans un système numérique quelconque, qu'il soit de base deux, huit, dix ou seize, la représentation d'un nombre est unique ; cela signifie qu'à chaque nombre entier, correspond une et une seule suite de chiffres à l'intérieur d'un système donné, les éventuels zéros non significatifs (c'est-à-dire ceux à gauche du nombre) n'étant pas pris en compte.

Une quantité décimale peut toujours être exprimée dans un autre système numérique ; on appelle cette opération le codage d'un nombre.

Par exemple, le nombre décimal 318 se représente ainsi :

• - 100111110  dans le système binaire,

• -         476       dans le système octal,

• -         13E       dans le système hexadécimal.

Pour reconnaître immédiatement le système numérique choisi dans l'écriture d'un nombre, on note en indice et en décimal la base correspondante du système.

Exemple :

31810 = 1001111102 = 4768 = 13E16

On utilise aussi en indice la lettre H (hexadécimal) à la place de 16 ; il revient donc au même d'écrire : 13E16 ou 13EH.

2. - CONVERSIONS ENTRE SYSTÈMES NUMÉRIQUES

Convertir un nombre écrit dans un système numérique en un autre signifie qu'il faut trouver la disposition correspondante des chiffres propre au nouveau système.

On verra successivement les méthodes, c'est-à-dire les calculs nécessaires pour faire de telles opérations et on analysera les conversions entre les systèmes numériques précédemment décrits.

Nous ne décrirons pas la conversion d'un système numérique quelconque en système décimal, car nous l'avons fait suffisamment dans les exemples précédents. Pour de plus amples infos à cette adresse : http://www.electronique-et-informatique.fr/Electronique-et-Informatique/Digit/Digit_7T.php

Pour convertir un nombre décimal dans ses équivalents binaire, octal et hexadécimal, on peut adopter le procédé suivant :

- On divise le nombre décimal par la base du nouveau système : on obtient un quotient entier et un reste que l'on utilisera pour former un chiffre du nouveau système.

- On continue en divisant par la base le quotient entier de l'opération précédente et on en tire un reste comme précédemment ; on recommence cette opération jusqu'à ce que l'on obtienne un quotient égal à zéro.

- Le résultat obtenu est constitué de tous les restes des divisions, écrits de droite à gauche, en partant du dernier vers le premier.

On suppose, par exemple, vouloir convertir le nombre décimal 123 dans les trois systèmes (binaire, octal, hexadécimal).

En commençant par le système binaire, on divise 123 par 2 et on obtient un quotient de "61" et un reste de "1" ; on recommence l'opération pour le quotient 61 et pour chaque quotient successif jusqu'à ce qu'il soit égal à zéro.

La conversion complète de 123 en forme binaire est la suivante :

Comme deuxième exemple, voyons la conversion du nombre décimal 218 en nombre binaire :

On peut facilement vérifier ce genre de conversions, en effectuant la lecture inverse des nombres binaires trouvés et en remarquant ainsi l'équivalence avec les nombres décimaux respectifs.

Voici un exemple de vérification pour la deuxième conversion :

•     1 x 2 =     2  ;        2 + 1 =    3

•     3 x 2 =     6  ;        6 + 0 =    6

•     6 x 2 =   12  ;     12 + 1 =   13     

•   13 x 2 =   26  ;     26 + 1 =   27

•   27 x 2 =   54  ;     54 + 0 =   54

•   54 x 2 = 108  ;  108 + 1 = 109

• 109 x 2 = 218  ;  218 + 0 = 218

Le nombre 218 est justement le nombre recherché.

Évidemment, transformer les nombres décimaux en binaire et vice versa est un exercice ennuyeux, du moins pour l'homme, et de plus présente beaucoup de risques d'erreurs.

Celui qui voudrait s'entraîner un peu pourrait chercher l'équivalent binaire de nombre décimaux relativement grands, comme par exemple 1 947 563. Après avoir fait 21 divisions, on trouve que ce nombre exprimé en forme binaire équivaut à 111 011 011 011 110 101 011 et là, on comprend très bien pourquoi l'homme n'utilise pas les nombres binaires dans les calculs.

Les nombres binaires ont en moyenne à peu près trois fois plus de chiffres que les nombres décimaux équivalents, ils sont difficiles à distinguer entre eux et à mémoriser.

Voyons maintenant la conversion, en système octal, du nombre décimal 123 du premier exemple.

Le procédé à suivre est toujours le même ; seule la base du nouveau système diffère :

Si, par contre, on veut représenter 123 en notation hexadécimale, on divisera successivement le nombre par 16 :

2. 1. - CONVERSIONS ENTRE SYSTÈME BINAIRE ET SYSTÈME OCTAL OU HEXADÉCIMAL ET VICE VERSA

La conversion d'un nombre binaire dans le système octal ou hexadécimal est très facile et ne demande pas de gros calculs.

Voyons d'abord la conversion dans le système octal.

Un nombre binaire peut être converti en octal en appliquant la règle suivante :

- en partant de la droite, on divise le nombre binaire par groupes de 3 bits, dits triplets, en ajoutant éventuellement des zéros à gauche pour compléter le triplet de gauche.

- on écrit, pour chaque triplet, la valeur en chiffres octaux.

- en mettant ces chiffres l'un à côté de l'autre, dans le même ordre, on obtient le nombre octal recherché.

Exemple :

Transformons en octal le nombre binaire 10 101 001 110 100.

La règle de conversion de binaire en octal est un cas particulier qui s'étend à tous les systèmes numériques ayant comme base une puissance de 2. Par exemple, cette règle peut être valable pour le système à base 4 égale à 2², le système octal égal à 2³ et le système hexadécimal égal à 2⁴.

La règle générale de conversion est la suivante :

- en allant de droite à gauche, diviser l'expression binaire en groupes de chiffres, le nombre de ces derniers étant égal à l'exposant de la puissance de 2 caractérisant la base dans laquelle on fait cette conversion.

- pour chaque groupe, écrire par ordre la valeur numérique, en utilisant le chiffre approprié du nouveau système.

Exemple :

Transformons en hexadécimal le nombre binaire de l'exemple précédent.

Pour le système hexadécimal, la base étant 16, on divise le nombre binaire en groupes de 4 bits (2⁴ = 16) :

Observons maintenant les conversions d'octal et hexadécimal en binaire. Il s'agit là d'opérations inverses, basées sur les mêmes correspondances entre chiffres hexadécimaux et quartets binaires d'une part, puis chiffres octaux et triplets binaires d'autre part (figure 1).

Exemples :

- Le nombre octal 7336 est converti en binaire de la façon suivante :

- Le nombre hexadécimal AA1B est converti en binaire de la façon suivante :

2. 2. - NOMBRES FRACTIONNAIRES

Pour représenter un nombre fractionnaire, on utilise encore la méthode qui consiste à attribuer à chaque chiffre un poids approprié, en rapport avec la position occupée par ce même chiffre à l'intérieur du nombre écrit. On affecte aux chiffres qui précédent la virgule les mêmes poids que l'on aurait dans le cas d'un nombre entier ; par contre, on attribue aux chiffres qui suivent la virgule, des poids constitués de puissances aux exposants négatifs, de valeur absolue croissante, en allant vers la droite.

Par exemple, le nombre 512,374 doit être défini de la façon suivante :

La lecture d'un nombre fractionnaire se fait en deux temps, en utilisant toujours le même procédé. D'abord, on lit la partie entière comme s'il s'agissait d'un nombre entier ; ensuite, on s'occupe de la partie fractionnaire comme pour la précédente mais en ayant toujours à l'esprit qu'elle vient après la virgule.

En reprenant le nombre de l'exemple précédent, on en fait la lecture de la façon suivante :

On pourrait maintenant étendre ces mêmes observations au système binaire, octal ou hexadécimal et, par conséquent, traiter les conversions des nombres fractionnaires d'un système à l'autre. Un tel travail pourrait être intéressant comme exercice d'arithmétique mais nous nous en tiendrons là, sachant qu'un nombre fractionnaire peut être considéré par l'ordinateur comme une union de deux entiers : le premier qui précède la virgule et qui représente une quantité d'unités ; le second qui suit la virgule et qui représente une fraction de ces mêmes unités. Les règles des nombres entiers sont donc suffisantes.

2. 3. - CODE BCD (Binary Coded Decimal)

La codification BCD d'un chiffre décimal n'est rien d'autre qu'une substitution de ce chiffre par un groupe de quatre chiffres binaires. Ces derniers sont plus que suffisants pour coder les chiffres décimaux de "0" jusqu'à "9" donc, six des seize codes possibles ne seront pas utilisés dans la représentation BCD (voir le tableau de la figure 2).

Prenons comme exemple la conversion du nombre 146 en code BCD, défini selon les correspondances de la figure 2.

On a mentionné l'existence du code BCD car l'information numérique, sur beaucoup de circuits, notamment sur ceux des instruments digitaux de mesure, est fournie sous forme BCD (figure 3).

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