Créée le, 24/05/2005

 Mise à jour le, 26/07/2015

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Associations de Résistances en Série et en Parallèle :




 

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Dans les circuits électriques, les éléments qui les constituent peuvent être reliés entre eux de manières différentes selon les nécessités ; nous allons examiner les différents types de liaisons et leurs propriétés particulières, qu'il s'agisse des résistances ou des piles.

ASSOCIATION DE RÉSISTANCES EN SÉRIE

Revenons un instant à l'examen du circuit de la figure 1. Dans celui-ci, le courant I sortant de la borne "+" de la pile, traverse la résistance R totale et revient dans la pile par sa borne "-" et, pour distinguer ces deux résistances, nous les appellerons R1 et R2.

I1.gif   

Le courant I fourni par la pile doit traverser successivement R1 puis R2 pour pouvoir revenir à la borne "-" de la pile.

Quand deux ou plusieurs éléments d'un circuit (dans ce cas deux résistances) sont traversés successivement par le même courant, on dit qu'ils sont reliés en série, ou plus simplement qu'ils sont en série.  

Le fait que le courant circulant dans ces éléments soit le même pour tous est une caractéristique spécifique des liaisons en série, donc plusieurs résistances en série sont toutes traversées par le même courant. (Ceci est évident et facile à comprendre).

L'adjonction de la résistance R2 rend la valeur résistive totale du circuit plus grande que s'il n'y avait que la résistance R1, car le courant, outre l'obstacle causé par R1 à son passage, doit également traverser R2. Nous pouvons dire que la résistance totale du circuit de la figure 1 ci-dessus qui s'oppose au passage du courant est donnée par la somme des valeurs résistives de chaque résistance. Rappelez-vous que :

La résistance équivalente présentée par plusieurs résistances reliées en série s'obtient en additionnant la valeur résistive de chacune des résistances.

Regardons maintenant ce qu'il advient de la tension délivrée par la pile. Aux bornes de chaque résistance, il apparaît une tension et ceci conformément à la loi d'Ohm.

Pour la figure 1, La tension V de la pile se partage entre les deux résistances R1 et R2 présentes dans le circuit. Aux bornes de R1 apparaît une tension V1 (déterminée par les valeurs de I et de R1) et aux bornes de R2 apparaît une tension V2 (déterminée par les valeurs de I et de R2). La somme de ces deux tensions est égale à la tension totale de la pile : V1 + V2 = V.

Illustrons par un exemple ce qui vient d'être affirmé.

Figure 2 est reporté le même circuit mais certaines grandeurs électriques sont agrémentées d'une valeur.

I2

Dans ce circuit, nous devons déterminer l'intensité du courant I qui circule dans les résistances R1 et R2, ainsi que les tensions V1 et V2 présentent à leur bornes.

Les deux résistances étant reliées en série, toutes deux sont traversées par le même courant, donc la résistance globale offerte à la circulation de ce courant est déterminée par la somme des deux résistances soit :

Résistance équivalente = R1 + R2 = 20 Ohms + 40 Ohms = 60 Ohms

L'application de la loi d'Ohm sous forme I = V / R nous permet de calculer I :

I = 6V / 60 Ohms = 0,1 A = 100 mA

100 mA est l'intensité du courant qui traverse R1 et R2. Pour calculer les tensions V1 et V2 présentes aux bornes de R1 et de R2, la loi d'Ohm sera appliquée sous forme V = RI.

V1 = R1 X I = 20 Ohms X 100 mA = 20 Ohms X 0,1 A = 2 V

V2 = R2 X I = 40 Ohms X 100 mA = 40 Ohms X 0,1 A = 4 V

Ces résultats trouvés, nous constatons d'emblée que la tension V de la pile s'est partagée en deux parties et nous avons réalisé un circuit appelé diviseur de tension.

Dans les circuits électroniques, on a souvent recours à l'association de deux résistances en série dans le but d'obtenir une tension plus faible que celle fournie par l'alimentation du circuit.

Par exemple, supposons devoir alimenter une lampe fonctionnant sous 6 V et absorbant un courant maximum de 0,05 A (50 mA) à partir d'une pile de 9 V.

Sous peine de détruire la lampe, il est impossible de relier celle-ci directement à la pile étant donné que la tension trop importante de celle-ci ferait circuler un courant trop intense dans la lampe, courant qui "grillerait" (comme on dit couramment) la lampe.

Pour éviter cet inconvénient, nous pouvons disposer dans le circuit une résistance chutrice en série avec la lampe, comme illustré figure 3. Sur cette figure, vous ferez également connaissance avec le symbole graphique d'une lampe.

   I3.gif

La valeur de la résistance R doit être calculée de façon adéquate pour qu'à ses bornes, la tension soit de 3 V (excédent fourni par la pile). Cette valeur peut être calculée par la loi d'Ohm car le courant I qui circule dans le circuit est imposé par la lampe L soit 50 mA et la tension VR à ses bornes de 3 V.

R = VR / I

Remplaçons VR par V - VL (VL : tension aux bornes de la lampe L).

R = V - VL / I = (9V - 6V) / 0,05 A = 3 V / 0,05 = 60 Ohms

Dans ce cas, la résistance R reliée en série avec la lampe L forme avec celle-ci un diviseur de tension qui réduit la tension appliquée à la lampe, de manière à permettre son allumage dans de bonnes conditions.

On dit que la résistance R a ainsi "chuté" une partie de la tension fournie par la pile. Les résistances sont largement utilisées dans les circuits pour produire des chutes de tension, et réaliser ainsi des diviseurs de tensions.

Il y a un deuxième type de liaison utilisé pour les résistances est l'association en parallèle, illustrée figure 4.

HAUT DE PAGE ASSOCIATION DE RÉSISTANCES EN PARALLÈLE  

I4 

Dans ce type de montage, chacune des deux résistances R1 et R2 ont une de leurs bornes reliées au "+" de la pile et l'autre au "-". Toutes deux se voient donc appliquer la même tension, celle fournie par la pile. Cet état de fait est une caractéristique spécifique des liaisons en parallèle ; rappelez-vous que :

Aux bornes de plusieurs éléments associés en parallèle, il y a toujours la même tension.

Dans ce type de liaison, il faut donc essentiellement analyser le comportement du courant. Figure 4, notons pour le courant (I) qui sort du pôle positif de la pile se partage au point C en deux courants appelés I1 et I2 ; chacun de ses courants traverse une résistance (I1 traverse R1 et I2 traverse R2) puis se réunissent au point D pour reformer le courant initial (I) qui rejoint alors le pôle négatif de la pile.

Le courant I fourni par la pile est donc égal à la somme des courants qui traversent chacune des résistances.

I = I1 + I 2

Pour déterminer la résistance équivalente (Req) d'un tel assemblage, il nous faut utiliser la loi d'Ohm. La figure 5 est reporté le circuit électrique de la figure 4 ainsi que le schéma équivalent dans lequel apparaît Req.

I5.gif

 Figure 5-a, nous pouvons déterminer la valeur du courant I en fonction de R1 et de R2.

I = I1 + I2

I1 = VR1 / R1

I2 = VR2 / R2

Nous savons que dans un tel montage, la tension aux bornes de chaque résistance est égale à la tension fournie par la pile :

V = VR1 = VR2

(1)    d'où     I1 = V / R1

(1)     I2 = V / R2

(1)    et     I = V / R1 + V / R2

De la figure 5-b, nous déduisons que : (2)     I = V / Req

Les deux égalités (1) et (2) donnent le même courant I et sont donc égales :

(1) = (2) ----------------------) V / R1 + V / R2 = V / Req

Multiplions les deux termes de l'égalité par 1 / V :

I / V . (V / R1 + V / R2) = 1 / V . V / Req

Simplifions les deux termes de l'égalité.

 I6

Nous avons ainsi déterminé la Req en fonction de R1 et de R2. Étendue au cas général de plusieurs résistances en parallèle, cette formule devient :

   I7

Lors de notre démonstration, nous sommes passés par le résultat intermédiaire suivant :

1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2

Autrement dit, l'inverse de la résistance équivalente est égale à la somme des inverses des résistances du circuit, ou pour être plus précis que la conductance équivalente est égale à la somme des conductances de chaque résistance.

Geq = G1 + G2

Ainsi, pour calculer la résistance équivalente Req de deux ou plusieurs résistances en parallèle, on peut faire les trois opérations suivantes :

  • déterminer la conductance de chaque résistance : G = 1 / R

  • effectuer la somme des conductances trouvées : Geq = G1 + G2 + G3 + ...

  • prendre l'inverse de la somme obtenue : Req = 1 / Geq

Quand deux résistances seulement sont en parallèle, on adopte la formule suivante qui dérive de la formule générale :

Req = R1 X R2 / R1 + R2

Par un exemple pratique chiffré, mettons en application ce que nous venons de voir :

Soit à calculer la résistance équivalente au circuit représenté figure 6.

I8

Pour calculer Req, effectuons les trois opérations requises :

  • Calcul de la conductance de chaque résistance :

G1 = 1 / R1 = 1 / 20 Ohms = 0,05 S

G2 = 1 / R2 = 1 / 40 Ohms = 0,025 S

  • Somme des conductances :

Geq = G1 + G2 = 0,05 + 0,025 = 0,075 S

  • Calcul de la résistance équivalente :

Req = 1 / Geq = 1 / 0,075 = environ 13,3 Ohms

Les résistances R1 et R2 en parallèle sont donc équivalentes à une résistance unique de 13,3 Ohms environ.

Pour comparer les deux types d'associations des résistances, nous pouvons noter que dans le cas de résistances en série, la valeur de la résistance équivalente est toujours supérieure à la valeur de chaque résistance tandis que dans le cas d'une association parallèle la valeur de la résistance équivalente est dans tous les cas inférieure à la valeur de chaque résistance et même mieux, elle est inférieure à la plus petite des résistances.

Les formules présentées servent également aux calculs de circuits plus complexes nés de la combinaison des deux types d'associations.

Prenons pour exemple le circuit de la figure 7 et supposons devoir calculer sa résistance équivalente.

I9 

On calcule tout d'abord la résistance équivalente (R2 - R3) aux résistances R2 et R3 en parallèle soit :

R2-R3 = R2 X R3 / R2 + R3 = 100 X 25 / 100 + 25 = 2500 / 125 = 20 Ohms

Aux deux résistances R2 et R3, on peut substituer une unique résistance de 20 Ohms (R2 et R3), comme dans la figure 7-b.

A partir de cette figure, on calcule la résistance (Req) équivalente (figure 7-c) à R1 et R2-3 en série :

Req = R1 + R2-3 = 5 + 20 = 25 Ohms

De cet exemple pratique, il ressort qu'en présence d'un circuit complexe, il faut traiter les deux types d'associations séparément de manière à simplifier le circuit progressivement jusqu'à obtenir une unique résistance.

Il est également intéressant de voir le comportement des tensions et des courants dans un tel circuit.

Dans la figure 8 est reporté le même circuit mais complété par la représentation des différents courants et tensions .

I10 

Il nous faut à présent déterminer les paramètres accompagnés d'un point d'interrogation dans la figure 8 soit I, V1, V2, V3, I2 et I3.

  • Calcul de I :

I est le courant total circulant dans le circuit, nous l'obtenons en divisant la tension fournie par la pile par la résistance équivalente du circuit, qui est comme calculée précédemment de 25 Ohms :

I = V / Req = 9 / 25 = 0,36 A = 360 mA

  • Calcul de V1 :

V1, tension aux bornes de la résistance R1 s'obtient en multipliant R1 par le courant qui la traverse, or ce courant n'est autre que I :

V1 = R1 X I = 5 X 0,36 = 1,8 V

  • Calcul de V2 et V3 :

V2-3, tension aux bornes de l'ensemble R2-R3 est égale à la différence entre la tension V de la pile et la tension V1 chutée par R1 :

V2-3 = V - V1 = 9 - 1,8 = 7,2 V

  • Calcul de I2 :

I2, courant circulant dans R2 s'obtient en divisant la tension aux bornes de R2 soit V2-3 par R2 :

I2 = V2-3 / R2 = 7,2 / 100 = 0,072 A = 72 mA

  • Calcul de I3 :

Le courant circulant dans R3, peut s'obtenir de deux façons :

I3 = I - I2 = 360 mA - 72 mA = 288 mA

ou      I3 = V2-3 / R3 = 7,2 / 25 = 0,288 A = 288 mA



 

  




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