Créée le, 19/06/2015

 Mise à jour le, 19/05/2019

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Signets : 
  Les nombres signes         Précision multiple      Virgule flottante
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Procédures Employées dans les Systèmes Numériques :


6. - PROCÉDURES EMPLOYÉES DANS LES SYSTÈMES NUMÉRIQUES

Les systèmes numériques, quand ils sont câblés ou programmés pour effectuer certaines fonctions, remplissent leur tâche à chaque fois qu'ils sont sollicités et ceci indéfiniment (ou presque), sans fatigue, ni lassitude et à très grande vitesse.

Ils peuvent répéter des procédures longues, sans erreur, avec pour seules initiatives celles que le technicien aura prévu dans leur programmation.

Ces systèmes sont donc disciplinés mais sans imagination, ce qui implique que la marche à suivre leur sera indiquée avec ordre et méthode ; chaque étape devra leur être dictée et décortiquée.

Il apparaît que le technicien doit avoir une parfaite connaissance du problème que sa machine devra traiter seule par la suite.

Dans le cas qui nous intéresse pour l'instant, il serait souhaitable de trouver une procédure universelle pour la réalisation de ces opérations et en fonction de l'opérateur (désignation de l'opération), certaines étapes pourraient être rendues transparentes.

Si cette solution peut paraître longue, nous savons que cela ne présente pas vraiment un gros inconvénient, compte-tenu de la vitesse à laquelle ces calculs sont effectués (sauf pour des cas particuliers : calculs de balistique... où la vitesse de calcul est primordiale).

  Le registre

Avant d'approcher ces méthodes, il faut encore préciser quelques points. A ce sujet, nous allons empiéter sur la suite, en parlant de registre.

Lorsque l'on désire effectuer une opération dont le résultat ne peut être trouvé mentalement, on prend une feuille de papier et l'on y inscrit les nombres : on pose l'opération.

Si l'on est appelé à une autre tâche urgente à ce moment là, celle-ci achevée, nous revenons auprès de notre feuille de papier sur laquelle nous retrouvons les nombres précédemment enregistrés.

Il y a mémorisation des informations.

Si nous entrons des informations dans une machine numérique, à l'aide d'un clavier, avant d'effectuer des transformations sur ces informations, il faut les stocker, les mettre en mémoire.

Dans ces machines, ces mémoires sont des registres (étymologiquement, un registre est un livre dans lequel on consigne des faits ou actes dont on veut garder le souvenir).

L'information élémentaire en binaire est le «bit» (binary - digit = chiffre binaire). Cette information est soit 0, soit 1, ce qui, en logique positive, se traduit par l'absence ou la présence d'une tension.

En conséquence, la cellule élémentaire d'un registre doit être capable de garder en mémoire de façon définitive, si aucune action extérieure n'intervient, soit une absence de tension (niveau 0), soit la présence d'une tension (définie comme étant égale au niveau 1).

En fait, elle mémorise la valeur numérique du bit.

Nous savons que les nombres décimaux (langage de l'être humain) lorsqu'ils sont exprimés en binaire (langage de la machine) utilisent un plus grand nombre de poids, et par conséquent, leur écriture est plus longue.

Par exemple, si on veut entrer dans la machine des nombres dont la valeur numérique n'excède pas 255, il faudra huit cellules élémentaires de registre en binaire alors qu'il en faudrait trois en décimal.

En résumé, un registre est une mémoire dans laquelle on peut stocker des nombres binaires. Une de leurs caractéristiques principales, est la valeur numérique maximale qu'ils peuvent mémoriser, on parle aussi de capacité ou longueur du registre.

Vous apprendrez dans les prochaines leçons consacrées à ces registres, comment on entre ces informations, comment elles y restent et comment on y accède.

Pour l'instant, admettez que c'est possible.

Ces registres sont très importants car ils conditionnent la capacité de calcul du système. Imaginons que notre feuille de papier ne soit pas assez grande pour y inscrire des nombres de plus de trois chiffres, on comprend que les calculs seront vite limités.

HAUT DE PAGE 6. 1. - LES NOMBRES SIGNÉS

D'autre part, nous savons qu'un nombre est caractérisé par sa valeur numérique absolue et par son signe.

Il faut donc trouver une méthode qui permette de lier un signe à la valeur numérique binaire.

Nous allons décrire maintenant les méthodes envisagées :

  La première consiste à mettre devant la valeur absolue du nombre un bit de signe.

Pour un nombre positif, le bit de signe est 0. Si au contraire il est négatif, le bit de signe est 1.

Exemple :

  Le nombre (+ 43), selon la représentation binaire signée se note :

Bit_de_signe_est_0.gif

  Le nombre (- 43) se note :

Bit_de_signe_est_1.gif

Dans le cas d'un système numérique, par exemple une calculatrice de poche, la longueur des registres est définie et immuable. S'ils sont constitués de huit cellules, la représentation de ces nombres est la suivante :

Huit_cellules.gif 

Cette méthode tend à être abandonnée au profit de celle du complément à 2 que nous décrivons plus loin.

  La seconde méthode qui fut employée, n'utilise pas le bit de signe de la même manière.

Les nombres positifs sont représentés avec un 0 au chiffre le plus significatif.

Les nombres négatifs sont représentés par le complément à 1 du nombre positif correspondant.

Le complément intervient sur le bit de signe, on retrouve, par conséquent, un 0 pour un nombre positif et un 1 pour les nombres négatifs, au chiffre le plus significatif.

Un exemple est donné figure 27.

Autre_representation_d_un_nombre_signe.gif

Ce système est aussi abandonné car il présente un inconvénient de taille : la double expression du 0.

En effet, si l'on décompte des valeurs positives vers 0, celui-ci aura pour expression 0. Si l'on décompte des valeurs négatives vers 0, celui-ci aura pour expression 1.

La figure 28 le démontre clairement.

Double_representation_possible_du_0.gif

Cette méthode crée une ambiguïté dont les systèmes numériques ne peuvent s'accommoder sans l'utilisation de subterfuges.

      La troisième méthode, qui se généralise, est fondée sur le complément à 2 (voir chapitre 4. 3. 4. sur le complément à 2).

Elle consiste, pour les nombres positifs en leur représentation en binaire pur précédée d'un 0.

Leurs opposés, en valeurs négatives, sont représentés par le complément à 2.

La complémentation intervient aussi sur le bit de signe et les nombres négatifs sont précédés d'un 1.

Exemple :

  • Le nombre (+ 10) est représenté par : 01010

  • Le nombre (- 10) est représenté par 10110

Comme le montre la figure 29.

Complement_a_deux.gif

Cette représentation des nombres binaires négatifs, par le complément à 2 ne pose pas l'ambiguïté de la double expression du zéro et nous servira dans la procédure d'obtention du résultat pour les opérations effectuées par la machine.

L'utilisation des nombres relatifs impose une diminution de la capacité des registres, puisqu'une cellule sera réservée au signe.

La figure 30 représente quelques-uns des nombres relatifs entre (+ 127) et (- 128) utilisés dans les machines numériques dont les registres comportent huit cellules élémentaires, donc capables de stocker des mots de huit bits, appelés octets.

Registres_a_8_cellules.gif

Il est nécessaire lors des discussions de préciser la méthode utilisée pour la représentation des nombres négatifs, ceci est évident.

De même, il ne faudra pas oublier de faire précéder d'un 0 tous les nombres positifs. Ces deux points sont très importants.

HAUT DE PAGE 6. 2. - PRÉCISION MULTIPLE

Nous avons parlé de mots de huit bits ou octets. Dans les systèmes numériques, un mot, quel que soit le nombre de bits, peut prendre l'appellation de «byte» (terme anglo-saxon).

Nous venons de voir qu'avec un octet, il était possible de représenter 256 valeurs (+ 127 à - 128 y compris 0).

Il est évident que pour la majorité des calculs, c'est très insuffisant. Il faut donc avoir recours à un artifice.

On peut étendre le nombre de cellules des registres, mais cela conduit à certains problèmes au niveau des circuits intégrés.

On peut aussi utiliser plusieurs fois huit bits. Par exemple, si les nombres sont codés sur deux octets, on peut représenter 65 536 valeurs numériques, ce qui représente les nombres relatifs de (+ 32 767) à (- 32 768) en passant par 0.

Le nombre ainsi représenté se compose de deux fois huit bits, les huit bits de poids les plus faibles constituent le mot le moins significatif (M.M.S.) et les huit bits de poids les plus forts, le mot le plus significatif (M.P.S.).

On dit aussi, l'octet le moins significatif (O.M.S.) et l'octet le plus significatif (O.P.S.). Cette façon de procéder utilisant plusieurs octets, prend l'appellation de précision multiple.

Quand on utilise que deux octets, nous dirons qu'il s'agit de la double précision.

Dans les machines à calculer, cette résolution n'est pas encore suffisante. On utilise plusieurs mots ou plusieurs octets (les mots ne sont pas forcément organisés en octets).

Selon la résolution désirée, on est amené à employer trois ou quatre mots, ainsi la précision est nettement suffisante.

Cette procédure a pour nom : la précision multiple.

La précision multiple augmente le temps d'obtention du résultat, car la machine, pour effectuer les calculs doit appeler les M.M.S. (mots les moins significatifs), réaliser l'opération avec ceux-ci, stocker le résultat et le report, s'il existe, puis appeler les mots suivants, effectuer les calculs.

On comprend aisément que si la procédure est plus longue, le résultat est obtenu un peu plus tard.

Pour un nombre binaire, de même qu'en décimal (nous en avons parlé au chapitre 1), le chiffre qui occupe le rang de poids le plus élevé a pour appellation : le bit le plus significatif ou B.L.P.S..

A l'opposé, celui qui occupe le rang le moins élevé : le bit le moins significatif ou B.L.M.S..

HAUT DE PAGE 6. 3. - LA VIRGULE FLOTTANTE

Jusqu'à présent, nous n'avons parlé que des nombres entiers, il faut aussi pouvoir représenter les nombres fractionnaires ainsi que, pour certains cas, les nombres très grands.

La virgule flottante n'est autre que la notation exponentielle (ou notation scientifique) et elle permet de résoudre le problème de la représentation des nombres très petits aux nombres très grands.

Ces procédures, précision multiple et virgule flottante, vous seront utiles quand vous aborderez les microprocesseurs.

Pour l'instant, elles sont décrites pour mémoire et parce qu'elles s'insèrent normalement dans cette leçon.

Dans le système décimal, il s'agit de la notation utilisant les puissances de 10.

Cette notation se compose d'une partie que l'on appelle la mantisse et d'une seconde que l'on nomme l'exposant.

L'exposant n'est autre que le poids du rang occupé par la partie entière de la mantisse.

Exemple :

0,00015  s'écrit  :  1,5      x  10-4

0,005       s'écrit :   5         x  10-3

1246        s'écrit :   1,246 x 103

On peut aussi utiliser la convention suivante en reprenant les mêmes exemples :

0,00015 Þ  0,15       x 10-3

0,005     Þ   0,5        x  10-2

1246      Þ  0,1246  x  104

Tous ces nombres commencent par 0 et puisqu'ils sont tous issus de la puissance de 10, on peut très bien adopter le système d'écriture suivant :

0,15       x 10-3  Þ (+ 15) (- 3)

0,5         x 10-2  Þ (+ 5) (- 2)

0,1246  x 10  Þ (+ 1246) (+ 4)

La mantisse M est toujours inférieure à 1 et égale ou supérieure à 0,1 :

0,1 £ < 1

Dans les systèmes numériques et en particulier avec les microprocesseurs, il ne s'agit plus de la puissance de 10, mais de la puissance de 2, puisque nous travaillons en binaire.

Dans ces systèmes utilisant des mots de huit bits ou octets, on peut conserver cette forme d'écriture en affectant un mot pour la mantisse et un mot pour l'exposant.

Dans l'exemple numérique, on s'aperçoit qu'avec un octet, on ne pourra représenter la valeur numérique 1246, surtout si on utilise la méthode du complément à 2 pour les valeurs négatives car il ne reste alors que sept bits pour exprimer cette valeur numérique.

En utilisant la précision multiple, c'est-à-dire en travaillant sur plusieurs octets, cela devient possible.

Si par exemple on utilise trois octets pour la mantisse et son signe, et un octet pour l'exposant et son signe, on peut représenter les nombres relatifs dans les limites suivantes :

(+ 223 - 1) x 2127 à (- 223) x 2127

Soit en décimal :

± 0,142 x 1046 ou, ± 142 suivi de 43 zéros.

Les valeurs aussi petites que (± 1) x 2-127 peuvent être représentées, soit en décimal :

± 0,58 x 10-38 ou, ± 0, ... 38 zéros ... 58.

Cette façon d'écrire les nombres, en gardant la mémoire de l'emplacement de la virgule décimale, permet les calculs sur des nombres très grands ou très petits (fractionnaires).

Pour résumer, dans les systèmes numériques destinés aux calculs, on utilise pour la représentation des nombres relatifs, le complément à 2 pour les nombres négatifs, la précision multiple et la notation exponentielle ou virgule flottante.

Si on utilise quatre octets, trois pour la mantisse et un pour l'exposant, tous les nombres seront représentés par ce même nombre d'octets, c'est-à-dire qu'ils auront tous le même format.

Quatre_octets.gif

Soit

  • pour l'exposant 7 bits  Þ 127 (décimal) plus le signe : ± 127, donc 2± 127

  • pour la mantisse 23 bits plus un pour le signe, ce qui correspond à : ± 223

Les opérations, en virgule flottante, sont soumises à une procédure spéciale.

La multiplication ne pose pas de difficulté, on multiplie les mantisses entre elles et on additionne les exposants.

L'addition nécessite une opération de recalage qui consiste à rendre les exposants égaux en valeur absolue, ce qui est impératif dans ce cas, car on ne doit additionner que des nombres de même poids.

Nous n'entrerons pas plus dans ces détails et sachez qu'il existe des circuits intégrés spécialement conçus pour les opérations en virgule flottante.








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